陸上競技の短距離１００メートル走では、１００メートルを走るのにかかる時間(以下、タイムと呼ぶ)は
１歩あたりの進む距離(以下、ストライドと呼ぶ)と
１秒あたりの歩数(以下、ピッチと呼ぶ)に、関係がある。
ストライドとピッチは、それぞれ以下の式で与えられる。
ストライド(メートル/歩)＝$\dfrac{100(メートル)}{100メートルを走るのにかかった歩数(歩)}$
ピッチ(歩/秒)＝$\dfrac{100メートルを走るのにかかった歩数(歩)}{タイム(秒)}$
ただし、１００メートルを走るのにかかった歩数は、最後の１歩がゴールラインをまたぐこともあるので、小数で表される。
以下、単位は必要のない限り省略する。
例えば、タイムが $10.81$ で、そのときの歩数が $48.5$ であったとき
ストライドは $\dfrac{100}{48.5}$ より 約 $2.06$
ピッチは $\dfrac{48.5}{10.81}$ より 約 $4.49$ である。
なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。
また、必要に応じて、指定された桁まで $0$ にマークせよ。
【２０２１年大問２ （１）ー（１）】
ストライドを $x$ 、 ピッチを $z$ とおく。
ピッチは１秒あたりの歩数、ストライドは１歩あたりの進む距離なので、
1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、 $x$ と $z$ を用いて
（ ア ）(メートル/秒)と表される。
これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は
タイム＝$\dfrac{100}{（ ア ）}$ ・・・①
と表されるので、（ ア ）が最大になるときにタイムが最もよくなる。
ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。
（ ア ）の解答群
解答番号０. $x+z$
解答番号１. $z-x$
解答番号２. $xz$
解答番号３. $\dfrac{x+z}{2}$
解答番号４. $\dfrac{z-x}{2}$
解答番号５. $\dfrac{xz}{2}$
【２０２１年大問２ （１）ー（２）】
男子短距離１００メートル走の選手である太郎さんは ① に着目して
タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は、太郎さんが練習で１００メートルを３回走ったときのストライドとピッチのデータである。
| ー | 1回目 | 2回目 | 3回目 |
|---|
| ストライド | 2.05 | 2.10 | 2.15 |
| ピッチ | 4.70 | 4.60 | 4.50 |
また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。
太郎さんの場合
ストライドの最大値は $2.40$
ピッチの最大値は $4.80$ である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが $0.05$ 大きくなるとピッチが $0.1$ 小さくなるという関係があると考えて
ピッチがストライドの一次関数として表されると仮定した。
このとき、ピッチ $z$ はストライド $x$ を用いて
$z = （ イウ ）x + \dfrac{（ エオ ）}{5}$ ・・・②
と表される。
② が太郎さんのストライドの最大値 $2.40$ と
ピッチの最大値 $4.80$ まで成り立つと仮定すると
$x$ の値の範囲は次のようになる。
（ カ ）.（ キク ）$\leqq x \leqq 2.40$
$y$ =（ ア ）とおく。
②を $y$ =（ ア ）に代入することにより
$y$ を $x$ の関数として表すことができる。
太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには
（ カ ）.（ キク ）$\leqq x \leqq 2.40$ の範囲で
$y$ の値を最大にする $x$ の値を見つければよい。
このとき $y$ の値が最大になるのは
$x$ =（ ケ ）.（ コサ ）のときである。
よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは
ストライドが（ ケ ）.（ コサ ）のときであり
このとき、ピッチは（ シ ）.（ スセ ）である。
また、このときの太郎さんのタイムは
① により（ ソ ）である。
（ ソ ）ついては、最も適当なものを、次の解答群のうちから一つ選べ。
（ ソ ）の解答群
解答番号０. $9.68$
解答番号１. $9.97$
解答番号２. $10.09$
解答番号３. $10.33$
解答番号４. $10.42$
解答番号５. $10.55$
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