余弦定理(よげんていり)

余弦定理(よげんていり)とは 、三角比の定理の１つで、「三角形の三辺」と「余弦」の関係のことです。

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【数学用語　解説】

用語：余弦定理(よげんていり)
英語：Law of Cosines
別名：コサインの定理・アルカシの定理・三平方の定理の拡張
解説：余弦定理(よげんていり)とは, 三角比の定理の１つで、「三角形の三辺」と「余弦」の関係のことです。

余弦定理によって、三角形の辺と角から、わからない辺と角を、計算で求められるようになりました。

その結果、天文学・地理学・建築学などで、測量の精度が高まりました。





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【余弦定理　証明問題】

$\triangle$ＡＢＣにおいて

ＢＣ＝$a$
ＣＡ＝$b$
ＡＢ＝$c$

$\angle$ＣＡＢ=$A$
$\angle$ＡＢＣ=$B$
$\angle$ＢＣＡ=$C$

とする。

この時

$a^2=b^2+c^2-2bc \times \cos A$

を証明しなさい。

【余弦定理　証明問題】

$\triangle$ＡＢＣにおいて

ＢＣ＝$a$
ＣＡ＝$b$
ＡＢ＝$c$

$\angle$ＣＡＢ=$A$
$\angle$ＡＢＣ=$B$
$\angle$ＢＣＡ=$C$

とする。

$\triangle$ＡＢＣの点Ｃから、辺ＡＢへ、垂線を引き、交点をＮとする。

$\triangle$ＡＮＣは、直角三角形なので、三平方の定理より

$AC^2=AN^2+CN^2$

となります。

辺ＡＣ＝$b$

辺ＡＮ＝$b \times \cos A$ なので

$b^2=(b\cos A)^2+CN^2$

$CN^2=b^2 - (b\cos A)^2$　　・・・(１)


また

$\triangle$ＢＮＣは、直角三角形なので、三平方の定理より

$BC^2=BN^2+CN^2$

となります。

辺ＢＣ＝$a$

辺ＢＮ＝$c - b \times \cos A$ なので

$a^2=(c - b \cos A)^2+CN^2$

$CN^2=a^2 - (c - b \cos A)^2$　　・・・(２)


（１）へ（２）を代入すると

$a^2 - (c - b \cos A)^2 = b^2 - (b\cos A)^2$　

$a^2 - \{c^2 - 2bc\cos A + (b\cos A)^2\} = b^2 - (b\cos A)^2$　

$a^2 - c^2 + 2bc\cos A - (b\cos A)^2 = b^2 - (b\cos A)^2$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times \cos A$

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