正弦定理(せいげんていり)

正弦定理(せいげんていり)

正弦定理(せいげんていり)

正弦定理(せいげんていり)

正弦定理(せいげんていり)とは, 三角比の定理の1つで, 「三角形の三辺」と「正弦」の関係のことです。


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【数学用語 解説】


用語:正弦定理(せいげんていり)
英語:Law of Sines
別名:サインの定理・三角形の外接円の半径の求め方
解説:正弦定理(せいげんていり)とは、三角比の定理の1つで、「三角形の三辺」と「余弦」の関係のことです。

正弦定理によって、三角形の辺と角から、わからない辺と角を、計算で求められるようになりました。

正弦定理によって、三角形の外接円の半径も、求められるようになりました。

その結果、天文学・地理学・建築学などで、測量の精度が高まりました。





プロ家庭教師の数学教材で、指導歴10年以上の講師が執筆しています。


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正弦定理 証明問題

正弦定理 証明問題

正弦定理 証明問題



正弦定理 証明問題】


$\triangle$ABCにおいて

BC=$a$
CA=$b$
AB=$c$

$\angle$CAB=$A$
$\angle$ABC=$B$
$\angle$BCA=$C$

とする。

この時

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

を証明しなさい。


また $\triangle$ABCの外接円をGとし、その半径を $r$ とする。

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2r$

を証明しなさい。



正弦定理 証明解答

正弦定理 証明解答

正弦定理 証明解答



正弦定理 証明問題】


$\triangle$ABCにおいて

BC=$a$
CA=$b$
AB=$c$

$\angle$CAB=$A$
$\angle$ABC=$B$
$\angle$BCA=$C$

とする。

$\triangle$ABCの点Cから、辺ABへ、垂線を引き、交点をNとする。

$\triangle$BCNは、直角三角形なので

$CN=BC \times \sin B$

$CN=a \times \sin B$ ・・・(1)


また

$\triangle$ACNは、直角三角形なので

$CN=AC \times \sin A$

$CN=b \times \sin A$ ・・・(2)


(1)を(2)へ代入して

$a \times \sin B = b \times \sin A$

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$


また

$\triangle$ABCの点Bから、辺ACへ、垂線を引き、交点をMとする。

正弦定理 証明問題

正弦定理 証明問題



$\triangle$BCMは、直角三角形なので

$BM=BC \times \sin C$

$BM=a \times \sin C$ ・・・(3)


また

$\triangle$BAMは、直角三角形なので

$BM=AB \times \sin A$

$BM=c \times \sin A$ ・・・(4)


(3)を(4)へ代入して

$a \times \sin C = c \times \sin A$

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$


以上より


$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$


次に

$\triangle$ABCの外接円をGとし、その半径を $r$ とする。

線分AGの延長と、外接円Gとの交点を、Dとする。

正弦定理 証明問題 円周角の解法

正弦定理 証明問題 円周角の解法



$\triangle$ABDについて

辺ADは、円の直径なので

$\angle$ABD=$90^\circ$

となり、$\triangle$ABDは直角三角形である。

辺AB=辺AD $\times \sin \angle ADB$

$c$ = $2r \times \sin \angle ADB$ ・・・(5)

円周角の定理より

$\angle$ADB=$\angle$ACD=$C$

(5)に代入すると

$c = 2r \times \sin C$

$\dfrac{c}{\sin C} = 2r$


以上より

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2r$


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