正弦定理(せいげんていり)

正弦定理(せいげんていり)とは, 三角比の定理の１つで, 「三角形の三辺」と「正弦」の関係のことです。

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【数学用語　解説】

用語：正弦定理(せいげんていり)
英語：Law of Sines
別名：サインの定理・三角形の外接円の半径の求め方
解説：正弦定理(せいげんていり)とは、三角比の定理の１つで、「三角形の三辺」と「余弦」の関係のことです。

正弦定理によって、三角形の辺と角から、わからない辺と角を、計算で求められるようになりました。

正弦定理によって、三角形の外接円の半径も、求められるようになりました。

その結果、天文学・地理学・建築学などで、測量の精度が高まりました。





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【正弦定理　証明問題】

$\mathrm{△}$ＡＢＣにおいて

ＢＣ＝$a$
ＣＡ＝$b$
ＡＢ＝$c$

$\mathrm{\angle }$ＣＡＢ＝$A$
$\mathrm{\angle }$ＡＢＣ＝$B$
$\mathrm{\angle }$ＢＣＡ＝$C$

とする。

この時

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}$

を証明しなさい。


また $\mathrm{△}$ＡＢＣの外接円をＧとし、その半径を $r$ とする。

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2r$

を証明しなさい。

【正弦定理　証明問題】

$\mathrm{△}$ＡＢＣにおいて

ＢＣ＝$a$
ＣＡ＝$b$
ＡＢ＝$c$

$\mathrm{\angle }$ＣＡＢ＝$A$
$\mathrm{\angle }$ＡＢＣ＝$B$
$\mathrm{\angle }$ＢＣＡ＝$C$

とする。

$\mathrm{△}$ＡＢＣの点Ｃから、辺ＡＢへ、垂線を引き、交点をＮとする。

$\mathrm{△}$ＢＣＮは、直角三角形なので

$ＣＮ=ＢＣ\times \sin B$

$ＣＮ=a\times \sin B$　・・・(１)


また

$\mathrm{△}$ＡＣＮは、直角三角形なので

$ＣＮ=ＡＣ\times \sin A$

$ＣＮ=b\times \sin A$　・・・(２)


（１）を（２）へ代入して

$a\times \sin B=b\times \sin A$

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}$


また

$\mathrm{△}$ＡＢＣの点Ｂから、辺ＡＣへ、垂線を引き、交点をＭとする。



$\mathrm{△}$ＢＣＭは、直角三角形なので

$ＢＭ=ＢＣ\times \sin C$

$ＢＭ=a\times \sin C$　・・・(３)


また

$\mathrm{△}$ＢＡＭは、直角三角形なので

$ＢＭ=ＡＢ\times \sin A$

$ＢＭ=c\times \sin A$　・・・(４)


（３）を（４）へ代入して

$a\times \sin C=c\times \sin A$

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}$


以上より


${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}$


次に

$\mathrm{△}$ＡＢＣの外接円をＧとし、その半径を $r$ とする。

線分ＡＧの延長と、外接円Ｇとの交点を、Ｄとする。



$\mathrm{△}$ＡＢＤについて

辺ＡＤは、円の直径なので

$\mathrm{\angle }$ＡＢＤ＝${90}^{\circ }$

となり、$\mathrm{△}$ＡＢＤは直角三角形である。

辺ＡＢ＝辺ＡＤ $\times \sin \mathrm{\angle }ＡＤＢ$

$c$ ＝ $2r\times \sin \mathrm{\angle }ＡＤＢ$　・・・(５)

円周角の定理より

$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝$\mathrm{\angle }$ＡＣＤ＝$C$

（５）に代入すると

$c=2r\times \sin C$

${\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2r$


以上より

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2r$

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