余弦定理(よげんていり)

余弦定理(よげんていり)とは 、三角比の定理の１つで、「三角形の三辺」と「余弦」の関係のことです。

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【数学用語　解説】

用語：余弦定理(よげんていり)
英語：Law of Cosines
別名：コサインの定理・アルカシの定理・三平方の定理の拡張
解説：余弦定理(よげんていり)とは, 三角比の定理の１つで、「三角形の三辺」と「余弦」の関係のことです。

余弦定理によって、三角形の辺と角から、わからない辺と角を、計算で求められるようになりました。

その結果、天文学・地理学・建築学などで、測量の精度が高まりました。





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【余弦定理　証明問題】

$\mathrm{△}$ＡＢＣにおいて

ＢＣ＝$a$
ＣＡ＝$b$
ＡＢ＝$c$

$\mathrm{\angle }$ＣＡＢ=$A$
$\mathrm{\angle }$ＡＢＣ=$B$
$\mathrm{\angle }$ＢＣＡ=$C$

とする。

この時

$a^2=b^2+c^2-2bc\times \cos A$

を証明しなさい。

【余弦定理　証明問題】

$\mathrm{△}$ＡＢＣにおいて

ＢＣ＝$a$
ＣＡ＝$b$
ＡＢ＝$c$

$\mathrm{\angle }$ＣＡＢ=$A$
$\mathrm{\angle }$ＡＢＣ=$B$
$\mathrm{\angle }$ＢＣＡ=$C$

とする。

$\mathrm{△}$ＡＢＣの点Ｃから、辺ＡＢへ、垂線を引き、交点をＮとする。

$\mathrm{△}$ＡＮＣは、直角三角形なので、三平方の定理より

$A{C}^2=A{N}^2+C{N}^2$

となります。

辺ＡＣ＝$b$

辺ＡＮ＝$b\times \cos A$ なので

$b^2=(b\cos A{)}^2+C{N}^2$

$C{N}^2=b^2-(b\cos A{)}^2$　　・・・(１)


また

$\mathrm{△}$ＢＮＣは、直角三角形なので、三平方の定理より

$B{C}^2=B{N}^2+C{N}^2$

となります。

辺ＢＣ＝$a$

辺ＢＮ＝$c-b\times \cos A$ なので

$a^2=(c-b\cos A{)}^2+C{N}^2$

$C{N}^2=a^2-(c-b\cos A{)}^2$　　・・・(２)


（１）へ（２）を代入すると

$a^2-(c-b\cos A{)}^2=b^2-(b\cos A{)}^2$　

$a^2-\{c^2-2bc\cos A+(b\cos A{)}^2\}=b^2-(b\cos A{)}^2$　

$a^2-c^2+2bc\cos A-(b\cos A{)}^2=b^2-(b\cos A{)}^2$

$a^2=b^2+c^2-2bc\times \cos A$

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