東京都立高校2021年共通試験 問題4 図形証明

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図１で, 四角形ＡＢＣＤは, ＡＢ＞ＡＤの長方形であり, 点Ｏは線分ＡＣを直径とする円の中心である。
点Ｐは, 頂点Ａを含ふくまない $\overparen{ CD }$ 上にある点で, 頂点Ｃ, 頂点Ｄのいずれにも一致しない。
頂点Ａと点Ｐ, 頂点Ｂと点Ｐをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

問題４－１　図形証明　円：
図１において, $\angle$ＡＢＰ＝$a^\circ$ とするときとするとき, $\angle$ＰＡＣの大きさを表す式を, 次のア〜エのうちから選び, 記号で答えよ。

ア　$(45-\dfrac{1}{2}a)$度　　イ　$(90-a)$度

ウ　$(90-\dfrac{1}{2}a)$度　　エ　$(135-2a)$度

問題４－２　図形証明　円：


図２は, 図１において, 辺ＣＤと線分ＡＰとの交点をＱ, 辺ＣＤと線分ＢＰとの交点をＲとし, ＡＢ＝ＡＰの場合を表している。次の ①, ② に答えよ。

①　$\triangle$ＱＲＰは二等辺三角形であることを証明せよ。

②　次の 　 　 の中の「お」「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図２において, 頂点Ｃと点Ｐを結んだ場合を考える。

ＡＢ＝１６cm, ＡＤ=８cmのとき, $\triangle$ＰＲＣの面積は, $\dfrac{\large \fbox{おか}}{\large \fbox{き}}cm^2$ である。

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問題４－１　図形証明　円：

$\angle$ＡＢＣ＝$90^\circ$ (四角形ＡＢＣＤは長方形)
$\angle$ＣＢＰ＝$\angle$ＡＢＣー$\angle$ＡＢＰ＝$90-a$
$\angle$ＣＢＰ＝$\angle$ＣＡＰ (円周角の定理)

問題４－２　図形証明　円：

①
$\angle$ＡＢＰ＝$\angle$ＱＰＲ (三角形ＡＢＰは二等辺三角形)
$\angle$ＡＢＰ＝$\angle$ＱＲＰ (錯角)

②　相似の三角形が、たくさん、隠れています。


ＡＣとＢＰの交点をＳとおくと, $\triangle$ＡＢＣ, $\triangle$ＢＣＲ, $\triangle$ＢＳＣ, $\triangle$ＰＳＣ, $\triangle$ＣＳＲ はすべて相似な三角形となります。また, $\triangle$ＢＳＣ と $\triangle$ＰＳＣ は合同です。

$\triangle$ＡＢＣ に注目して
辺ＡＣ＝$\sqrt{16^2+8^2}$＝$8\sqrt{5}$
辺ＡＣ：辺ＡＢ：辺ＢＣ ＝ $8\sqrt{5}cm$：$16cm$：$8cm$ ＝ $\sqrt{5}$：$2$：$1$

よって、相似な三角形の辺の比は $\sqrt{5}$：$2$：$1$ となります。

$\triangle$ＢＣＲ に注目して
辺ＢＲ：辺ＢＣ：辺ＣＲ ＝ $\sqrt{5}$：$2$：$1$ ＝ $4\sqrt{5}cm$：$8cm$：$4cm$

$\triangle$ＣＳＲ に注目して
辺ＣＲ：辺ＣＳ：辺ＳＲ ＝ $\sqrt{5}$：$2$：$1$ ＝ $4cm$：$\dfrac{8}{\sqrt{5}}cm$：$\dfrac{4}{\sqrt{5}}cm$

面積比は$\triangle$ＡＢＣ：$\triangle$ＢＣＲ：$\triangle$ＣＳＲ ＝ $(8\sqrt{5})^2$：$(4\sqrt{5})^2$：$4^2$ ＝ $20$：$5$：$1$

$\triangle$ＡＢＣ：$\triangle$ＰＲＣ
＝ $\triangle$ＡＢＣ：$\triangle$ＰＳＣー$\triangle$ＣＳＲ
＝ $\triangle$ＡＢＣ：$\triangle$ＢＳＣー$\triangle$ＣＳＲ
＝ $\triangle$ＡＢＣ：($\triangle$ＢＣＲー$\triangle$ＣＳＲ)ー$\triangle$ＣＳＲ
＝ $20$：$(5-1)-1$ ＝ $20$：$3$


$\triangle$ＰＲＣ ＝ $\triangle$ＡＢＣ$\times\dfrac{3}{20}$ ＝ $16\times8\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{20}$ ＝ $\dfrac{48}{5}$$cm^2$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０２１年問題４

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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