東京都立高校2021年共通試験 問題4 図形証明

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図１で, 四角形ＡＢＣＤは, ＡＢ＞ＡＤの長方形であり, 点Ｏは線分ＡＣを直径とする円の中心である。
点Ｐは, 頂点Ａを含ふくまない $\stackrel{⏜}{CD}$ 上にある点で, 頂点Ｃ, 頂点Ｄのいずれにも一致しない。
頂点Ａと点Ｐ, 頂点Ｂと点Ｐをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

問題４－１　図形証明　円：
図１において, $\mathrm{\angle }$ＡＢＰ＝$a^{\circ }$ とするときとするとき, $\mathrm{\angle }$ＰＡＣの大きさを表す式を, 次のア〜エのうちから選び, 記号で答えよ。

ア　$(45-{\displaystyle \frac{1}{2}}a)$度　　イ　$(90-a)$度

ウ　$(90-{\displaystyle \frac{1}{2}}a)$度　　エ　$(135-2a)$度

問題４－２　図形証明　円：


図２は, 図１において, 辺ＣＤと線分ＡＰとの交点をＱ, 辺ＣＤと線分ＢＰとの交点をＲとし, ＡＢ＝ＡＰの場合を表している。次の ①, ② に答えよ。

①　$\mathrm{△}$ＱＲＰは二等辺三角形であることを証明せよ。

②　次の 　 　 の中の「お」「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図２において, 頂点Ｃと点Ｐを結んだ場合を考える。

ＡＢ＝１６cm, ＡＤ=８cmのとき, $\mathrm{△}$ＰＲＣの面積は, ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{おか}}}{\boxed{\text{き}}}}c{m}^2$ である。

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問題４－１　図形証明　円：

$\mathrm{\angle }$ＡＢＣ＝${90}^{\circ }$ (四角形ＡＢＣＤは長方形)
$\mathrm{\angle }$ＣＢＰ＝$\mathrm{\angle }$ＡＢＣー$\mathrm{\angle }$ＡＢＰ＝$90-a$
$\mathrm{\angle }$ＣＢＰ＝$\mathrm{\angle }$ＣＡＰ (円周角の定理)

問題４－２　図形証明　円：

①
$\mathrm{\angle }$ＡＢＰ＝$\mathrm{\angle }$ＱＰＲ (三角形ＡＢＰは二等辺三角形)
$\mathrm{\angle }$ＡＢＰ＝$\mathrm{\angle }$ＱＲＰ (錯角)

②　相似の三角形が、たくさん、隠れています。


ＡＣとＢＰの交点をＳとおくと, $\mathrm{△}$ＡＢＣ, $\mathrm{△}$ＢＣＲ, $\mathrm{△}$ＢＳＣ, $\mathrm{△}$ＰＳＣ, $\mathrm{△}$ＣＳＲ はすべて相似な三角形となります。また, $\mathrm{△}$ＢＳＣ と $\mathrm{△}$ＰＳＣ は合同です。

$\mathrm{△}$ＡＢＣ に注目して
辺ＡＣ＝$\sqrt{{16}^2+8^2}$＝$8\sqrt{5}$
辺ＡＣ：辺ＡＢ：辺ＢＣ ＝ $8\sqrt{5}cm$：$16cm$：$8cm$ ＝ $\sqrt{5}$：$2$：$1$

よって、相似な三角形の辺の比は $\sqrt{5}$：$2$：$1$ となります。

$\mathrm{△}$ＢＣＲ に注目して
辺ＢＲ：辺ＢＣ：辺ＣＲ ＝ $\sqrt{5}$：$2$：$1$ ＝ $4\sqrt{5}cm$：$8cm$：$4cm$

$\mathrm{△}$ＣＳＲ に注目して
辺ＣＲ：辺ＣＳ：辺ＳＲ ＝ $\sqrt{5}$：$2$：$1$ ＝ $4cm$：${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{5}}}cm$：${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{5}}}cm$

面積比は$\mathrm{△}$ＡＢＣ：$\mathrm{△}$ＢＣＲ：$\mathrm{△}$ＣＳＲ ＝ $(8\sqrt{5}{)}^2$：$(4\sqrt{5}{)}^2$：$4^2$ ＝ $20$：$5$：$1$

$\mathrm{△}$ＡＢＣ：$\mathrm{△}$ＰＲＣ
＝ $\mathrm{△}$ＡＢＣ：$\mathrm{△}$ＰＳＣー$\mathrm{△}$ＣＳＲ
＝ $\mathrm{△}$ＡＢＣ：$\mathrm{△}$ＢＳＣー$\mathrm{△}$ＣＳＲ
＝ $\mathrm{△}$ＡＢＣ：($\mathrm{△}$ＢＣＲー$\mathrm{△}$ＣＳＲ)ー$\mathrm{△}$ＣＳＲ
＝ $20$：$(5-1)-1$ ＝ $20$：$3$


$\mathrm{△}$ＰＲＣ ＝ $\mathrm{△}$ＡＢＣ$\times {\displaystyle \frac{3}{20}}$ ＝ $16\times 8\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{20}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{48}{5}}$$c{m}^2$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０２１年問題４

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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