東京都立高校2018年共通試験 問題２ 立体図形

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問題２－１　立体図形　六角柱：
ある中学校でＳさんが作った問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。

・・・Ｓさんが作った問題・・・

$a , b , h$ を正の数とする。

図に示した立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬは底面が１辺 $a$ $cm$の正六角形、高さが $h$ $cm$、６つの側面が全て合同な長方形の正六角柱である。

正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、対角線ＡＤと対角線ＣＦの交点をＭ、点Ｍから辺ＡＢに垂線を引き、 辺ＡＢとの交点をＮとし、線分ＭＮの長さを $b$ $cm$とする。

立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬの表面積を $Ｐ$ $cm^2$とするとき、$Ｐ$を$a , b , h$を用いて表してみよう。


Ｔさんは「Ｓさんが作った問題」の答えを次の形の式で表した。
Ｔさんの答えは正しかった。

Ｔさんの答え　　$P=6a([　　　　])$

Ｔさんの答えの[　　　　]に当てはまる式を次のア～エのうちから選び記号で答えよ。

ア　$\frac{\large 1}{\large 2}b + h$

イ　$b ＋ h $

ウ　$b ＋ 2h$

エ　$2b ＋ h$

問題２－２　立体図形　円柱：
先生は「Ｓさんが作った問題」をもとにして 次の問題を作った。

・・・先生が作った問題・・・

$h , l , r$ を正の数とする。
図に示した立体は、底面が半径 $r$ $cm$の円、高さが $h$ $cm$の円柱であり、２つの底面の中心$Ｏ,Ｏ'$を結んでできる線分は、２つの底面に垂直である。

この立体について、底面の円周を $l$ $cm$、表面積を $Q$ $cm^2$とするとき、$Q=l(h+r)$となることを確かめなさい。

「先生が作った問題」で、$l$を$r$を用いて表し、$Q=l(h+r)$となることを証明しなさい。ただし、円周率は$\pi$とする。

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問題２－１　立体図形　六角柱：
イ　$b + h$

問題２－２　立体図形　円柱：
$l$ は半径 $r$ の円の、円周なので

$l=2 r \pi $　　・・・①

また、半径 $r$ の円の面積＝$r^2\pi$　　・・・②

また、円柱の側面を展開すると、長方形となる。この長方形について

長方形の幅＝$l$

長方形の高さ＝$h$　

よって側面の面積＝展開した長方形の面積＝$lh$　　・・・③

以上より、円柱の表面積＝円柱の側面＋上下の円

＝$lh+r^2 \pi \times2$　　(②③)

＝$lh+2r^2\pi $

＝$lh+2r\pi \times r$

＝$lh+l \times r$　　(①)

＝$l(h+r)$

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問題２－１　立体図形　六角柱：
立体図形からの出題ですが、解法がすぐにはわかりづらい思考問題形式ですね。

思考問題形式は、問題文にヒントが隠されていますので、まずは問題文にあるデータを、図形に書きこみしていきましょう。

上面の正六角形に、対角線ADを引き、対角線ECを引きます。

さらに辺の長さ $a$ と $b$ を書きこみしてみます。

そうすると、正六角形が面白い形になっていることがわかります。

正六角形は、同じ正三角形が、６個集まったものですね。


それでは、正三角形の面積がわかれば、正六角形の面積も、わかりますね。


正三角形の面積＝底辺 $\times$ 高さ $\times \frac{\large 1}{\large 2}$　　なので

＝$a \times b \times \frac{\large 1}{\large 2}$

＝$\frac{\large 1}{\large 2}ab$

これで正三角形の面積がわかりました。

次に、正六角形の面積＝正三角形の面積 $\times$ ６個　　なので

＝$\frac{\large 1}{\large 2}ab\times6$＝$3ab$　　・・・①


続いて、側面の面積を求めましょう。

側面を展開して、平面図にしてみます。そうすると同じ長方形が６個あることがわかります。


１個の長方形の面積＝底辺 $\times$ 高さ　　なので

＝$a \times h$＝$ah$

６個の長方形の面積＝$6ah$　　・・・②


最後に、六角柱全体の表面積を合計していきます。

六角柱全体の表面積＝上下の円の面積＋側面の面積

＝$3ab\times2+6ah$　　(①②)

＝$6ab+6ah$＝$6a($$b+h$$)$

問題２－２　立体図形　円柱：
円柱の表面積の問題で、まずは円周を求めるように、誘導があります。

問題文から、データを書きこみしていきます。


円に注目します。


円周の長さ＝直径(半径の2倍) $\times$ 円周率　　なので

$l=2r \pi $　　・・・①


また、円の面積＝半径 $\times$ 半径 $\times$ 円周率　　なので

円の面積＝$r^2\pi$　　・・・②


続いて、円柱の側面を展開すると、長方形となります。


長方形の横幅は、円柱の円周の長さと、一致します。

長方形の幅＝$l$

長方形の高さ＝$h$　

よって、側面の面積＝展開した長方形の面積＝$lh$　　・・・③

以上より、円柱の表面積＝円柱の側面＋上下の円

＝$lh+r^2 \pi \times2$　　(②③)

＝$lh+2r^2\pi $

＝$lh+2r\pi \times r$

＝$lh+l \times r$　　(①)

＝$l(h+r)$

証明終わり

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１８年問題２

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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