東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０１８年問題３ ＞ 問題・解答・解説・傾向
問題３－１ 二次関数 最大最小：
二次関数は基本問題も出題されますが、高校受験では「二次関数＋他分野との融合問題」が主役になります。教科書の学習を終えたら、より上位の解法を習得していきましょう。
「二次関数の最大最小」のポイントは「実際にグラフで、目視確認」です。
まずは点Pの移動を、描いてみましょう。
問題３－１ 二次関数 最大最小 データ書き込み
点Pの $x$ 座標は ー４⇒０⇒６と変化します。
点Pの $y$ 座標は ８⇒０⇒１８と変化します。
したがって、点Ｐの $y$ 座標 $b$ のとる値の範囲は、
$0 \leqq b \leqq 18$ となります。
問題３－１ 二次関数 最大最小 目視確認
ちなみに、この問題作成者が受験生用の「ひっかけ」として用意したのは
$8 \leqq b \leqq 18$ という誤答です。
この誤答は、計算だけをして、グラフを目視確認していない受験生が、ひっかかるものです。注意しましょう。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡：
「点の軌跡」の問題は、自分の手でグラフを描く技術が必要です。
問題文の①の場合を、順番に描いていきましょう。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
点Pを $y$ 軸上に書きます。点Qも $y$ 軸上に書けますね。
点Qの座標を求めたいので、直線ABに注目します。
直線ABの傾きは１なので
直線ABの式は $y=x+12$ となります。
点Qの座標は $(0, 12)$ となります。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
点Mは、点Pと点Qの中点です。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
直線BMは、点B $(6, 18)$ と点M $(0, 6)$ を通ります。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
直線BMを $y=ax+b$ と置きます。
$b$ の値はy軸切片なので $b=6$ です。
直線BMは $y=ax+6$ となります。
直線BMは、点B $(6, 18)$ を通るので、 $x$ 座標と $y$ 座標を代入して、
$18=6a+6$
$12=6a$
$2=a$
したがって
直線BMは
$y=2x+6$ となります。
続いて、問題文の②の場合を、順番に描いていきましょう。
直線BMが原点を通るので、点Bから原点へ、直線を引きます。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
点Pをどこかに置きたいのですが、どこかわかりません。そこで $x$ 座標を $t$ としておきます。
「点の軌跡」の問題では、「わからない座標は文字で置いておく」という解法があります。
点Pの $x$ 座標を $t$ と置くと、 $y$ 座標は $\frac{\Large1}{\Large2}t^2$ と置けます。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
点Pから真上に直線を引き、直線ABとの交点が、点Qになります。
点Qの $x$ 座標は、点Pと同じなので $t$ です。
点Qは直線AB ( $y=x+12$ ) の上にあるので
点Qの $y$ 座標は $t+12$ と置けます。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
点Mの $x$ 座標は、点Pと同じなので $t$ です。
点Mは直線OB ( $y=3x $ ) の上にあるので
点Mの $y$ 座標は $3t$ と置けます。
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
問題３－２ 二次関数 点の軌跡
ここで点Mが、点Pと点Qの中点であることに注目します。
点Mの $y$ 座標 ＝ (点Pの $y$ 座標＋点Qの $y$ 座標) $\div$ ２
$3t=\{(\frac{\Large1}{\Large2}t^2)+(t+12)\}\div2$
$6t=(\frac{\Large1}{\Large2}t^2)+(t+12)$ (両辺に２を掛ける)
$12t=t^2+2t+24$ (両辺に２を掛ける)
$t^2-10t+24=0$ (項を整理する)
$(t-4)(t-6)=0$ (因数分解)
$t=4, 6$
$t$ の定義域は $-4 < t < 6$ なので
$t=6$ は不適です。
よって $t=4$ が適しています。
$t=4$ の時、
点Pの $x$ 座標＝ $4$
点Pの $y$ 座標＝ $\frac{\Large1}{\Large2} \times 4^2$ ＝$8$
以上より
$P(4, 8)$
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