東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０１８年問題５ ＞ 問題・解答・解説・傾向
立体図形からの出題です。都立高校は、後半に立体図形が出題されます。難易度は、毎年、設問１は簡単で、設問２は難しく設定されています。設問１を確実に得点できるように、過去問演習しておきましょう。
問題５－１ 立体図形 三角柱：
問題文に「角度のデータ」が与えられていません。このような場合は「正三角形」や「直角二等辺三角形」などの特殊図形が、隠れているのが定石です。
解法 「角度データがない場合は、特殊図形が隠されている」
問題５－１ 立体図形 三角柱
それでは隠れている図形を発見するために、データを書きこみしていきましょう。
辺ＡＢ＝辺ＡＣ＝９ｃｍ、 $\angle$ＢＡＰ＝$90^\circ$ なので
$\triangle$ＡＢＰ は直角二等辺三角形です。
三平方の定理より
$BP^2$＝$AB^2+AP^2$
よって辺ＢＰ＝$9\sqrt{ 2 }$
問題５－１ 立体図形 三角柱 データ書き込み
同様に、 $\triangle$ＡＢＤ と $\triangle$ＡＤＰ も直角二等辺三角形なので
辺ＢＤ＝$9\sqrt{ 2 }$
辺ＤＰ＝$9\sqrt{ 2 }$
問題５－１ 立体図形 正六角形と正三角形
以上より
$\triangle$ＢＰＤ は三辺が等しいので、正三角形となります。
$\angle$ＢＰＤ は正三角形の内角なので
$\angle$ＢＰＤ＝
$60^\circ$
問題５－２ 立体図形 三角柱：
立体図形の体積の問題で、底面に注目しましょう。
都立高校の立体問題では、一見すると「計算できなそうな立体図形」が登場します。その場合は、頭をやわらかくして、底面を探してみましょう。
解法 「
計算できなそうな立体図形は、底面を探す」
問題５－２ 立体図形 三角柱
底面を $\triangle$ＡＢＤ として立体図形を考えていきましょう。
問題５－２ 立体図形 三角柱
立体の底面積＝$\triangle$ＡＢＤの面積なので
立体の底面積＝$9 \times 9 \times \frac{\Large 1}{\Large 2}=\frac{\Large 81}{\Large 2}$ ・・・①
問題５－２ 立体図形 円柱の側面図
続いて、立体図形の高さを求めます。
平面図(真上から見た図)を描いてみます。
点Ｐから辺ＡＢへ垂線を引き、交点をＨとします。
辺ＰＨが、立体図形の高さになります。
ここで点Ｍは辺ＥＦの中点であり、平面図では辺ＢＣの中点と重なります。
よって辺ＢＭ：辺ＭＣ＝１：１
さらに辺ＭＰ：辺ＰＣ＝１：２なので
比を整理すると
辺ＢＭ：辺ＭＰ：辺ＰＣ＝３：１：２
辺ＢＰ：辺ＰＣ＝３＋１：２＝２：１
$\triangle$ＡＢＣと$\triangle$ＨＢＰは相似であり
相似比は 辺ＢＣ：辺ＢＰ＝３：２
よって辺ＡＣ：辺ＨＰ＝３：２＝９cm：６ｃｍ ・・・②
以上の①②より
立体図形Ｐ－ＡＢＤは三角錐なので
立体図形Ｐ－ＡＢＤの体積
＝底面積 $ \times $ 高さ $ \times \frac{\Large 1}{\Large 3}$
＝$\triangle$ＡＢＤ $ \times $ 辺ＨＰ $ \times \frac{\Large 1}{\Large 3}$
＝$\frac{\Large 81}{\Large 2} \times 6 \times \frac{\Large 1}{\Large 3}$
＝
$81cm^3$
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