東京都立高校2019年共通試験 問題１ 小問集合

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問題１－１　四則計算：
$ 5 + \frac{\Large 1}{\Large 2} \times (-8)$　を計算せよ。

問題１－２　文字と式：
$ 4(a-b)-(a-9b) $　を計算せよ。

問題１－３　無理数の計算：
$ (\sqrt{ 7 }-1)^2 $　を計算せよ。

問題１－４　一次方程式の計算：
一次方程式　$ 4x+6=5(x+3) $　を解け。

問題１－５　連立方程式の計算：
連立方程式　$ \left(\begin{array}{ll}-x + 2y = 8 \\ 3x - y = 6 \end{array}\right) $　を解け。

問題１－６　二次方程式の計算：
二次方程式　$ x^2+x-9=0 $　を解け。

問題１－７　確率：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

図１のように、１、２、３、４、５の数字を１つずつ書いた５枚のカードがある。

この５枚のカードから同時に３枚のカードを取り出すとき、

取り出した３枚のカードに書いてある数の積が３の倍数になる確率は[　　　　]である。

ただし、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問題１－８　円と角：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

図２は、線分ＡＢを直径とする円Ｏであり、２点Ｃ，Ｄは、円Ｏの周上にある点である。


４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは、図２のようにＡ、Ｃ、Ｂ、Ｄの順に並んでおり、互いに一致しない。

点Ａと点Ｃ、点Ａと点Ｄ、点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。

$\angle$ＢＡＤ＝$25^\circ$のとき、 $x$で示した$\angle$ＡＣＤの大きさは[　　　　]度である。

問題１－９　作図：
図３で、点Ａ、点Ｂは、直線$\ell$上にある異なる点である。


図３をもとにして、ＡＢ＝ＡＣ、 $\angle$ＣＡＢ＝$90^\circ$となる点Ｃを１つ、定規とコンパスを用いて作図によって求め、点Ｃの位置を示す文字Ｃも書け。

ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１９年問題１　＞　解答

問題１－１　四則計算：
$ 1 $

問題１－２　文字と式：
$ 3a+5b $

問題１－３　無理数の計算：
$ 8-2\sqrt{ 7 } $

問題１－４　一次方程式の計算：
$ x = -9 $

問題１－５　連立方程式の計算：
$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ y = 6 \end{array}\right) $

問題１－６　二次方程式の計算：
$\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{ 37 } }{2}$

問題１－７　確率：
数の積が３の倍数になる確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$である。

問題１－８　円と角：
$\angle$ＡＣＤの大きさは$ 65 $度である。

問題１－９　作図：

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１９年問題１　＞　解説

問題１－１　四則計算：
$ 5 + \frac{\Large 1}{\Large 2} \times (-8)$

＝$ 5 - 4 $　　(先に掛け算をします)　

＝$ 1 $

問題１－２　文字と式：
$ 4(a-b)-(a-9b) $

＝$ 4a-4b-a+9b $　　(分配法則でカッコを外します)　

＝$ 4a-a-4b+9b $　　(同類項を計算します)　

＝$ 3a+5b $

問題１－３　無理数の計算：
$ (\sqrt{ 7 }-1)^2 $

＝$ \sqrt{ 7 }^2-2\sqrt{ 7 }+(-1)^2 $　　(展開)

＝$ 7-2\sqrt{ 7 }+1 $

＝$ 8-2\sqrt{ 7 } $

問題１－４　一次方程式の計算：
$ 4x+6=5(x+3) $

$ 4x+6=5x+15 $　　(式を展開します)

$ 4x-5x=15-6 $　　(移項します)

$ -x=9 $

$ x = -9 $　　(両辺にー１を掛けます)

問題１－５　連立方程式の計算：
$ \left(\begin{array}{ll}-x + 2y = 8 \\ 3x - y = 6 \end{array}\right) $　

$ \left(\begin{array}{ll}-x + 2y = 8 \\ 6x - 2y = 12 \end{array}\right) $　　　(yの係数を合わせます)

$ \left(\begin{array}{ll}5x = 20 \\ 6x - 2y = 12 \end{array}\right) $　　(加減法)

$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ 6x - 2y = 12 \end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ 6 \times 4 - 2y = 12 \end{array}\right) $　　(xを代入)

$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ 24 - 2y = 12 \end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ -2y = 12-24 \end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ -2y = -12 \end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}x = 4 \\ y = 6\end{array}\right) $

問題１－６　二次方程式の計算：
$ x^2+x-9=0 $

因数分解はうまくいかないので、二次方程式の「解と係数の公式」を用います。

$\displaystyle　 x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a} $

$\displaystyle　 x=\frac{-1\pm{\sqrt{1^{2} -4 \times 1 \times (-9)}}}{2 \times 1} $

$\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{ 37 } }{2}$

問題１－７　確率：
全体の場合は、５個のカードから、３個のカードを選ぶので

$5 \times 4 \times 3$＝$60$通り


数の積が３の倍数になるためには、３のカードを取り出せばよい。

３の倍数になる場合は、はじめに３のカードを選ぶ場合は

$1 \times (5-1) \times (5-2)$＝$12$通り

２番目に３のカードを選ぶ場合は

$(5-1) \times 1 \times (5-2)$＝$12$通り

３番目に３のカードを選ぶ場合は

$(5-1) \times (5-2) \times 1$＝$12$通り

したがって

３の倍数になる確率＝$\displaystyle \frac{３の倍数になる場合}{全体の
場合}$

＝$\displaystyle \frac{12+12+12}{60}$

＝$\displaystyle \frac{3}{5}$である。

問題１－８　円と角：
まずは問題文の条件を、図形に書きこみしてみましょう。

$\angle$ＢＡＤ＝$25^\circ$

$\angle$ＡＤＢは直径の円周角なので

$\angle$ＡＤＢ＝$90^\circ$

$\angle$ＡＣＤと$\angle$ＡＢＤは、同じ円周の角なので

$\angle$ＡＣＤ＝$\angle$ＡＢＤ＝$x^\circ$

以上より

三角形の内角の和は$180^\circ$ なので

＋$\angle$ＡＢＤ＋$\angle$ＢＡＣ＋$\angle$ＡＤＢ＝$180^\circ$

よって
$\angle X + 25 + 90$＝$180$

$\angle X$＝$65$

$\angle X$＝$ 65 $度である。

問題１－９　作図：
中学校で習う作図は垂直二等分線・垂線・角の二等分線の３種類ですから、作図もこのうちのどれかを描くことになります。

問題文をよく読むと、ヒントがあります。問題文の「$\angle$ＣＡＢ＝$90^\circ$」は、点Ａを通る垂線だとわかります。

問題文の言い回しのなかに、このような作図のヒントが隠されています。

点Ａにコンパスの針を置いて、線分ＡＢを半径とする円を、下書きします。

線分$\ell$上で、点Ｂと反対側の交点を、点Ｄとします。


点Ｂと点Ｄに、それぞれコンパスの針を置いて、円弧を下書きします。半径の長さは、交点ができるように、大きめに描きましょう。




円弧の交点から、点Ａへ、定規で垂線を引き、完成です。

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１９年問題１

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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