東京都立高校2019年共通試験 問題5 立体図形

東京都立高校2019年共通試験 問題5 立体図形

東京都立高校2019年共通試験 問題5 立体図形

東京都立高校2019年共通試験 問題5 立体図形

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題5 > 問題・解答・解説・傾向

問題5-1 立体図形 正三角錐:
図1に示した立体AーBCDは、 AB=9cm、 BC=BD=CD=6cm、 $\angle$ABC=$\angle$ABD=$90^\circ$ の正三角錐(せいさんかくすい)である。辺CD上にある点をP、辺AB上にある点をQとし、点Pと点Qを結ぶ。
次の各問に答えよ。

問題5-1 立体図形 正三角錐 点の軌跡

問題5-1 立体図形 正三角錐 点の軌跡



次の[    ]の中に当てはまる数字を答えよ。
点Pが辺CDの中点、AQ=6cmのとき、
線分PQの長さは [    ]$cm$ である。

問題5-2 立体図形 正三角錐:
次の[    ]の中に当てはまる数字を答えよ。

図2は、図1において、点Pが頂点Cと一致するとき、
辺ADの中点をRとし、点Pと点R、点Qと点Rをそれぞれ結んだ場合を表している。
問題5-2 立体図形 正三角錐 点の軌跡

問題5-2 立体図形 正三角錐 点の軌跡


AQ=8cm のとき
立体R-AQPの体積は [    ]$cm^3$ である。

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都立高2019問題5立体図形 解答

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問題5-1 立体図形 正三角錐:
線分PQの長さは $6$$cm$ である。

問題5-2 立体図形 正三角錐:
orange 立体R-AQPの体積は $12 \sqrt{3}$$cm^3$ である。

都立高2019問題5立体図形 解説

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立体図形からの出題です。都立高校は、毎年、最後に立体図形が出題されます。難易度は、設問1は簡単で、設問2は難しく設定されています。設問1を確実に得点できるように、過去問演習しておきましょう。

問題5-1 立体図形 正三角錐:
問題文に「角度のデータ」が与えられていません。このような場合は「正三角形」や「直角三角形」などの特殊図形が、隠れているのが定石です。

解法 「角度データがない場合は、特殊図形が隠されている

それでは、隠れている図形を発見するために、データを書きこみしていきましょう。

問題5-1 立体図形 正三角錐

問題5-1 立体図形 正三角錐



三角形BCGは正三角形なので、辺BPは、中線になります。

三角形BCPは直角三角形なので

三平方の定理より

$BP^2$=$BC^2-CP^2$

$BP^2$=$6^2-3^2$=$27$

$BP$=$3\sqrt{3}$
問題5-1 立体図形 正三角錐 図形の発見

問題5-1 立体図形 正三角錐 図形の発見



三角形BPQは直角三角形なので

三平方の定理より

$PQ^2$=$BP^2+BQ^2$

$PQ^2$=$3\sqrt{3}^2+3^2$=$36$

$PQ$=$6$
問題5-1 立体図形 直角三角形

問題5-1 立体図形 直角三角形



問題5-2 立体図形 正三角錐:
立体図形の体積の問題で、線分比に注目しましょう。

都立高校の立体問題では、一見すると「計算できなそうな立体図形」が登場します。その場合は、頭をやわらかくして、線分比を探してみましょう。

解法 「計算できなそうな立体図形は、線分比を探す

立体R-AQPをいきなり求めるのではなく、正三角錐A-BCDを先に求めてから、比によって立体R-AQPを計算します。

正三角錐A-BCDの体積=底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{\Large 1}{\Large 3}$

=三角形BCD $\times$ AB $\times \frac{\Large 1}{\Large 3}$

=$\displaystyle (6 \times 3\sqrt{3} \times \frac{1}{2}) \times 9 \times \frac{1}{3}$

=$27\sqrt{3}$

後は、各辺の比を求めましょう。

AR:AD=1:2

AQ:AQ=8:9  となります。
問題5-2 立体図形 正三角錐

問題5-2 立体図形 正三角錐


以上より

立体R-AQP=正三角錐A-BCD $\displaystyle \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{9}$

=$\displaystyle 27\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{9}$

$12\sqrt{3}$ $cm^3$

都立高2019問題5 参考文献


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 2019年問題4


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


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