東京都立高校2020年共通試験 問題１ 小問集合

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問題１－１　四則計算：
$ 9 - 8 \div \frac{\Large 1}{\Large 2}$　を計算せよ。

問題１－２　文字と式：
$ 3(5a-b)-(7a-4b) $　を計算せよ。

問題１－３　無理数の計算
$ (2-\sqrt{ 6 })(1+\sqrt{ 6 }) $　を計算せよ。

問題１－４　一次方程式の計算：
一次方程式　$ 9x+4=5(x+8) $　を解け。

問題１－５　連立方程式の計算：
連立方程式　$ \left(\begin{array}{ll}7x - 3y = 6 \\ x + y = 8 \end{array}\right) $　を解け。

問題１－６　二次方程式の計算：
二次方程式　$ 3x^2+9x+5=0 $　を解け。

問題１－７　度数分布：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

下表は、ある中学校の生徒40人について、自宅からＡ駅まで歩いたときにかかる時間を調査し、度数分布表に整理したものである。

自宅からＡ駅まで歩いたときにかかる時間が１５分未満である人数は、
全体の人数の[　　　　]％である。

階級(分)	度数(人)
5～10	12
10～15	14
15～20	10
20～25	3
25～30	1
計	40

問題１－８　円と角：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

図８で　点Oは線分ＡＢを直径とする円の中心であり、２点Ｃ、Ｄは円Ｏの周上にある点である。


４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは、図８のように、Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄの順に並んでおり、互いに一致しない。

点Ｏと点Ｃ、点Ａと点Ｃ、点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。

$\angle$ＡＯＣ＝$\angle$ＢＤＣ、
$\angle$ＡＢＤ＝$34^\circ$　のとき、

$ X $ で示した$\angle$ＯＣＤの大きさは [　　　　] 度である。

問題１－９　作図：
図９の $\triangle$ＡＢＣ は、鋭角三角形である。


辺ＡＣ上にあり、ＡＰ＝ＢＰとなる点Ｐを、定規とコンパスを用いて作図によって求め、点Ｐの位置を示す文字Ｐも書け。ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

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問題１－１　四則計算：
$ 7 $

問題１－２　文字と式：
$ 8a+b $

問題１－３　無理数の計算
$ -4+\sqrt{ 6 } $

問題１－４　一次方程式の計算：
$ x = 9 $

問題１－５　連立方程式の計算：
$ \left(\begin{array}{ll}x = 3 \\ y = 5 \end{array}\right) $

問題１－６　二次方程式の計算：
$\displaystyle x = \frac{-9 \pm \sqrt{ 21 } }{6}$

問題１－７　度数分布：
$ 65 $％である。

問題１－８　円と角：
$ 26 $度である。

問題１－９　作図：

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０２０年問題１　＞　解説

問題１－１　四則計算：
$ 9 - 8 \div \frac{\Large 1}{\Large 2}$　

＝$ 5 - 16 $　　(先に割り算をします)　

＝$ -7 $


問題１－２　文字と式：
$ 3(5a-b)-(7a-4b) $

＝$ 15a-3b-7a+4b $　　(分配法則でカッコを外します)　

＝$ 15a-7a-3b+4b $　　(同類項を計算します)　

＝$ 8a+b $

問題１－３　無理数の計算
$ (2-\sqrt{ 6 })(1+\sqrt{ 6 }) $

＝$ 2+2\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 6 }-6 $　　(展開)

＝$ 2-6+2\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 6 } $

＝$ -4+\sqrt{ 6 } $

問題１－４　一次方程式の計算：
$ 9x+4=5(x+8) $

$ 9x+4=5x+40 $　　(式を展開します)

$ 9x-5x=40-4 $　　(移項します)

$ 4x=36 $

$ x = 9 $　　(両辺を４で割ります)

問題１－５　連立方程式の計算：
$ \left(\begin{array}{ll}7x - 3y = 6 \\ x + y = 8 \end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}7x - 3y = 6 \\ 3x + 3y = 24 \end{array}\right)$　　(yの係数を合わせます)

$ \left(\begin{array}{ll}10x = 30 \\ 3x + 3y = 24\end{array}\right)$　　(加減法)

$ \left(\begin{array}{ll}x = 3 \\ 3x + 3y = 24 \end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}x = 3 \\ 3 \times 3 + 3y = 24\end{array}\right)$　　(xを代入)

$ \left(\begin{array}{ll}x = 3 \\ y = 5\end{array}\right) $

問題１－６　二次方程式の計算：
> $ 3x^2+9x+5=0 $

因数分解はうまくいかないので、二次方程式の「解と係数の公式」を用います。

$\displaystyle　 x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a} $

$\displaystyle　 x=\frac{-9\pm{\sqrt{9^{2} -4 \times 3 \times 5}}}{2 \times 3} $

$\displaystyle x = \frac{-9 \pm \sqrt{ 21 } }{6}$

問題１－７　度数分布：

階級(分)	度数(人)
5～10	12
10～15	14
15～20	10
20～25	3
25～30	1
計	40

全体の人数＝４０人

５分以上１０分未満の人数＝１２人

１０分以上１５分未満の人数＝１４人

なので

１５分未満の人数＝１２＋１４＝２６人

したがって

１５分未満の人数の割合＝$\frac{\Large 26}{\Large 40} \times 100 $

＝$ 65 $％である。


問題１－８　円と角：
まずは設問文の条件を、図形に書きこみしてみましょう。


$\angle$ＡＤＣは円周角で、$\angle$ＡＯＣは中心角なので、
$\angle$ＡＤＣ $\times$ ２＝ $\angle$ＡＯＣ

仮定より $\angle$ＡＯＣ＝$\angle$ＢＤＣなので、
$\angle$ＡＤＣ $\times$ ２＝ $\angle$ＡＯＣ＝ $\angle$ＢＤＣ

よって
$\angle$ＡＤＢ＝$\angle$ＡＤＣ＋$\angle$ＢＤＣ
$\angle$ＡＤＢ＝$\angle$ＡＤＣ＋２$\angle$ＡＤＣ
$\angle$ＡＤＢ＝３$\angle$ＡＤＣ


$\angle$ＡＤＢは直径の円周角なので
$\angle$ＡＤＢ＝$90^\circ$

よって
３$\angle$ＡＤＣ＝$90^\circ$
$\angle$ＡＤＣ＝$30^\circ$とわかります。


$\angle$ＡＢＤと$\angle$ＡＣＤは、同じ円周の角なので

$\angle$ＡＢＤ＝$\angle$ＡＣＤ＝$34^\circ$


$\triangle$ＯＡＣに注目すると
$\triangle$ＯＡＣは辺ＯＡ＝辺ＯＣの二等辺三角形であることがわかります。

さらに$\angle$ＡＯＣ＝$60^\circ$ なので
$\triangle$ＯＡＣは正三角形となります。

正三角形の内角は、すべて $60^\circ$ なので
$\angle$ＡＯＣ＝$\angle$ＡＣＯ＝$\angle$ＣＡＯ＝$60^\circ$

よって
$\angle X$＝$\angle$ＡＣＯー$\angle$ＡＣＤ
$\angle X$＝$60^\circ - 34^\circ$＝$26^\circ$

$\angle X$＝$ 26 $度である。


問題１－９　作図：
中学校で習う作図は垂直二等分線・垂線・角の二等分線の３種類ですから、作図もこのうちのどれかを描くことになります。

問題文をよく読むと、ヒントがあります。問題文の「ＡＰ＝ＢＰとなる点Ｐ」は、「点Ａと点Ｂから距離が等しい」ですので、２点から距離が等しい＝垂直二等分線だとわかります。

問題文の言い回しのなかに、このような作図のヒントが隠されています。

点Ａにコンパスの針を置いて、円を下書きします。

同様に、点Ｂにコンパスの針を置いて、円を下書きします。


下書きの円は、交点ができるように、大きめに描きましょう。

交点２つに合わせて、定規で垂直二等分線を引きましょう。

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　問題１

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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