東京都立高校2020年共通試験 問題５ 立体図形

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問題５－１　立体図形　直方体：
図１に示した立体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨはＡＢ＝６cm 、 ＡＤ＝８cm、 ＡＥ＝１２cm の直方体である。

頂点Ｃと頂点Ｆを結び、線分ＣＦ上にある点をＰとする。

辺ＡＢ上にあり、頂点Ｂに一致しない点をＱとする。

頂点Ｄと点Ｐ、頂点Ｄと点Ｑ、点Ｐと点Ｑをそれぞれ結ぶ。

次の各問に答えよ。

次の[　　　　]の中に当てはまる数字を答えよ。

点Ｐが頂点Ｆと、点Ｑが頂点Ａと、それぞれ一致するとき、

$\triangle$ＤＱＰの面積は[　　　　]$cm^2$ である。

問題５－２　立体図形　直方体：
次の[　　　　]の中に当てはまる数字を答えよ。

図２は、図１において、点Ｑを通り辺ＡＥに平行な直線を引き、点ＥＦとの交点をＲとし、頂点Ｈと点Ｐ、頂点Ｈと点Ｒ、点Ｐと点Ｒをそれぞれ結んだ場合を表している。

ＡＱ＝４cm
ＣＰ：ＰＦ＝３：５のとき、

立体Ｐ－ＤＱＲＨの体積は[　　　　]$cm^3$ である。

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問題５－１　立体図形　直方体：
$\triangle$ＤＱＰの面積は$24 \sqrt{5}$$cm^2$ である。

問題５－２　立体図形　直方体：
立体Ｐ－ＤＱＲＨの体積は$144$$cm^3$ である。

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立体図形からの出題です。都立高校は、毎年、最後に立体図形が出題されます。難易度は、設問１は簡単で、設問２は難しく設定されています。設問１を確実に得点できるように、過去問演習しておきましょう。

問題５－１　立体図形　直方体：
問題文に「角度のデータ」が与えられていません。このような場合は「正方形」や「長方形」などの特殊図形が、隠れているのが定石です。

解法　「角度データがない場合は、特殊図形が隠されている」

それでは隠れている図形を発見するために、データを書きこみしていきましょう。

点Ａ＝点Ｑ 、 点Ｆ＝点Ｐ　　として

求める図形$\triangle$ＤＱＰを描きます。

さらに、辺ＤＧを描いてみます。

四角形ＤＱＰＧは対辺がそれぞれ平行で、長さが等しいので、長方形になります。


辺ＤＱの長さ＝８ｃｍ

辺ＱＰの長さは、三平方の定理より

$QP^2$＝$QE^2+EP^2$

$QP^2$＝$12^2+6^2$=$180$

$QP$＝$6\sqrt{5}$


$\triangle$ＤＱＰ＝$\frac{\Large 1}{\Large 2}$ＤＱＰＧ

＝$\frac{\Large 1}{\Large 2} \times 8 \times 6\sqrt{5}$

＝$24\sqrt{5}$

問題５－２　立体図形　直方体：
立体図形の体積の問題で、底面に注目しましょう。

都立高校の立体問題では、一見すると「計算できなそうな立体図形」が登場します。その場合は、頭をやわらかくして、底面を探してみましょう。

解法　「計算できなそうな立体図形は、底面を探す」


底面を、四角形ＤＱＲＨとして、四角錐Ｐ－ＤＱＲＨを考えていきましょう。

三平方の定理より

$DQ^2$＝$DA^2+AQ^2$

$DQ^2$＝$8^2+4^2$

$DQ$＝$4\sqrt{5}$　　となります。


よって

四角形ＤＱＲＨ＝ＤＱ $\times$ ＱＲ

＝$4\sqrt{5} \times 12$＝$48\sqrt{5}$


後は高さがわかれば、立体図形の体積が計算できます。

そこで、立体図形の平面図(真上から見た図)を描いてみます。



Ｐから底面ＤＱＲＨへ、垂線を引き、交点をＪとおきます。

辺ＰＪが、四角錐ＰーＤＱＲＨの高さになります。



平面図に、辺の長さを書きこみします。いくつも直角三角形があることがわかります。



三平方の定理より

$DP^2$＝$6^2+3^2$

$DP$＝$3\sqrt{5}$　　となります。


$PQ^2$＝$5^2+2^2$

$PQ$＝$\sqrt{29}$　　となります。



辺ＤＪ＝ $x$ cm 、 辺ＰＪ＝ $y$ cm　とおくと

$\triangle$ＰＤＪと三平方の定理より

$(3\sqrt{5})^2$＝$x^2+y^2$

$45$＝$x^2+y^2$　・・・（１）


$\triangle$ＰＱＪと三平方の定理より

$(\sqrt{29})^2$＝$(4\sqrt{5}-x)^2+y^2$

$29$＝$80-8\sqrt{5}x+x^2+y^2$　・・・（２）


連立方程式の加減法で、（１）ー（２）より

$45-29$＝$x^2+y^2-80+8\sqrt{5}x-x^2-y^2$

$16$＝$-80+8\sqrt{5}x$

$96$＝$8\sqrt{5}x$

$x$＝$\frac{\Large 12}{\Large \sqrt{5}}$


(１)に $x$ の値を代入して

$45$＝$( \frac{\Large 12}{\Large \sqrt{5}} )^2+y^2$

$45$＝$\frac{\Large 144}{\Large 5}+y^2$

$-y^2$＝$\frac{\Large 144}{\Large 5}-\frac{\Large 225}{\Large 5}$

$y^2$＝$\frac{\Large 81}{\Large 5}$

$y$＝$\pm \frac{\Large 9}{\Large \sqrt{5}}$

$y>0$より

$y$＝$\frac{\Large 9}{\Large \sqrt{5}}$


以上より

四角錐ＰーＤＱＲＨ＝底面ＤＱＲＨ $\times$ 高さＰＪ $\times \frac{\Large 1}{\Large 3}$

＝$48\sqrt{5} \times \frac{\Large 9}{\Large \sqrt{5}} \times \frac{\Large 1}{\Large 3}$

＝$144$$cm^3$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　問題５

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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