東京都立高校2021年共通試験 問題3 一次関数

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図１で, 点Ｏは原点, 点Ａの座標は $(-12,-2)$ であり, 直線 $l$ は一次関数 $y=-2x+14$ のグラフを表している。
直線 $l$ と $y$ 軸との交点をＢとする。
直線 $l$ 上にある点をＰとし, 2点Ａ, Ｐを通る直線を $m$ とする。
次の各問に答えよ。

問題３－１　一次関数　グラフ：
次の 　　　 の中の「え」に当てはまる数字を答えよ。

点Ｐの $y$ 座標が１０のとき, 点Ｐの $x$ 座標は 　え　 である。

問題３－２　一次関数　グラフ：
次の ① と ② に当てはまる数を, 下のア〜エのうちからそれぞれ選び, 記号で答えよ。

点Ｐの $x$ 座標が４のとき, 直線 $m$ の式は, $y$＝ ①$x+$② である。

①
ア　$-\dfrac{1}{2}$　　イ　$\dfrac{1}{2}$
ウ　$1$　　エ　$2$
②
ア　$4$　　イ　$5$
ウ　$8$　　エ　$10$

問題３－３　一次関数　図形の融合：

図２は, 図１において, 点Ｐの $x$ 座標が７より大きい数であるとき, $x$ 軸を対称の軸として点Ｐと線対称な点をＱとし, 点Ａと点Ｂ, 点Ａと点Ｑ, 点Ｐと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表している。
$\triangle$ＡＰＢの面積と$\triangle$ＡＰＱの面積が等しくなるとき, 点Ｐの $x$ 座標を求めよ。

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問題３－１　一次関数　グラフ：

点Ｐは直線 $l:y=-2x+14$ の上の点なので $y=10$ を代入して
$10=-2x+14$
$-4=-2x$
$x=2$
点Ｐの $x$ 座標は 　２　 である。

問題３－２　一次関数　グラフ：
点Ｐは直線 $l:y=-2x+14$ の上の点なので $x=4$ を代入して
$y=-2\times4+14$
$y=-8+14$
$y=6$

点Ｐ$(4,6)$, 点A$(-12,-2)$ なので, 直線 $m:y=ax+b$ とおくと

$ \left(\begin{array}{ll}6=4a+b\\-2=-12a+b\end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}8=16a\\-2=-12a+b\end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}=a\\-2=-12a+b\end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}=a\\-2=-12\times\dfrac{1}{2}+b\end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}=a\\-2=-6+b\end{array}\right) $

$ \left(\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}=a\\4=b\end{array}\right) $

よって, 直線 $m:$ $y=\dfrac{1}{2}x+4$

問題３－３　一次関数　図形の融合：

$\triangle$ＡＰＢの面積と$\triangle$ＡＰＱの面積が等しいので、辺ＡＰと辺ＢＱは平行である。(三角形の等積変形)

点Ｐの $x$ 座標を $t$ とおくと, 点Ｐの $y$ 座標は $y=-2t+14$ となる。
よって点Ｐ$(t,-2t+14)$ となり, 点Ｑは $x$ 軸対称なので, 点Ｑ$(t,2t-14)$ となる。

辺ＡＰの傾き＝辺ＢＱの傾きなので

$\dfrac{(-2t+14)-(-2)}{t-(-12)}$＝$\dfrac{(2t-14)-14}{t-0}$

$\dfrac{-2t+16}{t+12}$＝$\dfrac{2t-28}{t}$

$t(-2t+16)$＝$(2t-28)(t+12)$
$-2t^2+16t$＝$2t^2-4t-336$
$-4t^2+20t+336$＝$0$
$t^2-5t-84$＝$0$
$(t+7)(t-12)$＝$0$
$t$＝$-7, +12$

点Ｐの $x$ 座標は７より大きいので $t=12$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０２１年問題３

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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