東京都立高校2021年共通試験 問題2 平面図形

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Ｓさんのクラスでは, 先生が示した問題をみんなで考えた。次の各問に答えよ。

［先生が示した問題］
$a$ を正の数, $n$ を自然数とする。

図１のように, １辺の長さが $2a$ cm の正方形に, 各辺の中点を結んでできた四角形を描いたタイルがある。
正方形と描いた四角形で囲まれてできる 　　　 で示された部分の面積について考える。
図１のタイルが縦と横に $n$ 枚ずつ正方形になるように, このタイルを並べて敷き詰つめる。
図２は $n=2$ の場合を表している。図１のタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で 　　　 で示される部分の面積を Ｐ$cm^2$ とする。

また, 図１のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で, 各辺の中点を結んでできる四角形を描いた別のタイルを考える。図３は, $n=2$ の場合を表している。図１と同様に, 正方形と描いた四角形で囲まれてできる部分を 　　　 で示し, その面積を Ｑ$cm^2$ とする。

$n=5$ のとき, ＰとＱをそれぞれ $a$ を用いて表しなさい。

問題２－１　平面図形　文字と式：
次の ① と ② に当てはまる式を, 下のア〜エのうちからそれぞれ選び, 記号で答えよ。

先生が示した問題で, $n=5$ のとき, ＰとＱをそれぞれ $a$ を用いて表すと, Ｐ＝①, Ｑ＝② となる。

①
ア　$\dfrac{25}{2}a^2$　　イ　$50a^2$
ウ　$75a^2$　　エ　$100a^2$
②
ア　$\dfrac{25}{2}a^2$　　イ　$25a^2$
ウ　$50a^2$　　エ　$75a^2$


Ｓさんのグループは, ［先生が示した問題］をもとにして, 正方形のタイルの内部に描いた四角形を円に変え, 正方形と描いた円で囲まれてできる部分の面積を求める問題を考えた。

［Ｓさんのグループが作った問題］
$a$ を正の数, $n$ を自然数とする。

図４のように, １辺の長さが $2a$ cm の正方形に, 各辺に接する円を描いたタイルがある。
正方形と描いた円で囲まれてできる, 　　　 で示された部分の面積について考える。
図４のタイルが縦と横に $n$ 枚ずつ正方形になるように, このタイルを並べて敷き詰める。図５は, $n=2$ の場合を表している。
図４のタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で, 　　　 で示される部分の面積を Ｘ$cm^2$ とする。
また, 図４のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で, 各辺に接する円を描いた別のタイルを考える。
図６は, $n=2$ の場合を表している。図４と同様に, 正方形と描いた円で囲まれてできる部分を 　　　 で示し, その面積を Ｙ$cm^2$ とする。
図４のタイルが縦と横に $n$ 枚ずつ並ぶ正方形になるように, このタイルを敷き詰めて, 正方形と円で囲まれている部分の面積Ｘ, Ｙをそれぞれ考えるとき, Ｘ＝Ｙ となることを確かめてみよう。

問題２－２　平面図形　文字と式：
［Ｓさんのグループが作った問題］で, Ｘ, Ｙをそれぞれ $a$, $n$ を用いた式で表し Ｘ＝Ｙ となることを証明せよ。ただし, 円周率は $\pi$ とする。

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問題２は、例年、図形(平面図形か立体図形)を文字式で表します。問題文にはヒントが隠れています。

問題２－１　平面図形　文字と式：

図１のタイルに注目すると,
タイル全体の面積＝$ 2a \times 2a = 4a^2 $

タイルの 　　　 と 　　　 部分の面積は等しいので
タイル１枚の 　　　 の面積 ＝$ 4a^2 \div 2 = 2a^2 $

$n=5$ のとき、タイルは２５枚あるので、
Ｐ＝$ 2a^2 \times 25$＝$ 50a^2 $


同様に、図３のタイルに注目すると, $n=5$ のとき,
タイルの一辺＝$2a\times5=10a$
タイル全体の面積＝$ 10a \times 10a = 100a^2$

タイルの 　　　 と 　　　 部分の面積は等しいので
Ｑ＝$100a^2\div2$＝$ 50a^2 $

問題２－２　文字と式：

図４のタイルに注目すると,
タイル全体の面積＝$ 2a \times 2a = 4a^2 $

　　　 の面積は, 半径 $a$ の円なので $a^2\pi$
　　　 の面積 ＝$4a^2-a^2\pi$

タイルは $n^2$ 枚あるので、
Ｘ＝$n^2(4a^2-a^2\pi)$


同様に、図６のタイルに注目すると,
タイルの一辺＝$2an$
タイル全体の面積＝$2an\times2an=4a^2n^2$

　　　 の面積 ＝$(an)^2\pi$
　　　 の面積 ＝Ｙ＝$4a^2n^2-(an)^2\pi$
＝$n^2(4a^2-a^2\pi)$＝Ｘ

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０２１年問題２

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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