東京都立高校2021年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校2021年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校2021年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校2021年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2021年問題2 > 問題・解答・解説・傾向

Sさんのクラスでは, 先生が示した問題をみんなで考えた。次の各問に答えよ。

[先生が示した問題]
a を正の数, n を自然数とする。

都立高校2021年問題2-1 平面図形

都立高校2021年問題2-1 平面図形


図1のように, 1辺の長さが 2a cm の正方形に, 各辺の中点を結んでできた四角形を描いたタイルがある。
正方形と描いた四角形で囲まれてできる     で示された部分の面積について考える。
図1のタイルが縦と横に n 枚ずつ正方形になるように, このタイルを並べて敷き詰つめる。
図2は n=2 の場合を表している。図1のタイルを縦と横に n 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で     で示される部分の面積を Pcm2 とする。

また, 図1のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横に n 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で, 各辺の中点を結んでできる四角形を描いた別のタイルを考える。図3は, n=2 の場合を表している。図1と同様に, 正方形と描いた四角形で囲まれてできる部分を     で示し, その面積を Qcm2 とする。

n=5 のとき, PとQをそれぞれ a を用いて表しなさい。

問題2-1 平面図形 文字と式:
次の に当てはまる式を, 下のア〜エのうちからそれぞれ選び, 記号で答えよ。

先生が示した問題で, n=5 のとき, PとQをそれぞれ a を用いて表すと, P=, Q= となる。


ア 252a2  イ 50a2
ウ 75a2  エ 100a2

ア 252a2  イ 25a2
ウ 50a2  エ 75a2


Sさんのグループは, [先生が示した問題]をもとにして, 正方形のタイルの内部に描いた四角形を円に変え, 正方形と描いた円で囲まれてできる部分の面積を求める問題を考えた。

[Sさんのグループが作った問題]
a を正の数, n を自然数とする。
都立高校2021年問題2-2 平面図形

都立高校2021年問題2-2 平面図形


図4のように, 1辺の長さが 2a cm の正方形に, 各辺に接する円を描いたタイルがある。
正方形と描いた円で囲まれてできる,     で示された部分の面積について考える。
図4のタイルが縦と横に n 枚ずつ正方形になるように, このタイルを並べて敷き詰める。図5は, n=2 の場合を表している。
図4のタイルを縦と横に n 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で,     で示される部分の面積を Xcm2 とする。
また, 図4のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横に n 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で, 各辺に接する円を描いた別のタイルを考える。
図6は, n=2 の場合を表している。図4と同様に, 正方形と描いた円で囲まれてできる部分を     で示し, その面積を Ycm2 とする。
図4のタイルが縦と横に n 枚ずつ並ぶ正方形になるように, このタイルを敷き詰めて, 正方形と円で囲まれている部分の面積X, Yをそれぞれ考えるとき, X=Y となることを確かめてみよう。

問題2-2 平面図形 文字と式:
[Sさんのグループが作った問題]で, X, Yをそれぞれ a, n を用いた式で表し X=Y となることを証明せよ。ただし, 円周率は π とする。

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都立高2021問題2平面図形 解説

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2021年問題2 > 問題・解答・解説・傾向

問題2は、例年、図形(平面図形か立体図形)を文字式で表します。問題文にはヒントが隠れています。

問題2-1 平面図形 文字と式:

都立高校2021年問題2-1 平面図形

都立高校2021年問題2-1 平面図形


図1のタイルに注目すると,
タイル全体の面積=2a×2a=4a2

タイルの        部分の面積は等しいので
タイル1枚の     の面積 =4a2÷2=2a2

n=5 のとき、タイルは25枚あるので、
P=2a2×2550a2

都立高校2021年問題2-1 平面図形

都立高校2021年問題2-1 平面図形


同様に、図3のタイルに注目すると, n=5 のとき,
タイルの一辺=2a×5=10a
タイル全体の面積=10a×10a=100a2

タイルの        部分の面積は等しいので
Q=100a2÷250a2

問題2-2 文字と式:
都立高校2021年問題2-2 平面図形

都立高校2021年問題2-2 平面図形


図4のタイルに注目すると,
タイル全体の面積=2a×2a=4a2

    の面積は, 半径 a の円なので a2π
    の面積 =4a2a2π

タイルは n2 枚あるので、
X=n2(4a2a2π)

都立高校2021年問題2-2 平面図形

都立高校2021年問題2-2 平面図形


同様に、図6のタイルに注目すると,
タイルの一辺=2an
タイル全体の面積=2an×2an=4a2n2

    の面積 =(an)2π
    の面積 =Y=4a2n2(an)2π
n2(4a2a2π)=X

都立高2021問題2平面図形 探究資料


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 2021年問題2


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


プロ家庭教師の数学教材で、指導歴10年以上の講師が執筆しています。オンライン学習用で、生徒・保護者・教員・家庭教師のために、無料ダウンロードを提供します。

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