東京都立高校2020年共通試験 問題4 図形の証明

東京都立高校2020年共通試験 問題4 図形の証明

東京都立高校2020年共通試験 問題4 図形の証明

東京都立高校2020年共通試験 問題4 図形の証明

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2020年問題4 > 問題・解答・解説・傾向

問題4-1 図形の証明 正方形の性質:
図1で、四角形ABCDは正方形である。

問題4-1 正方形 図1

問題4-1 正方形 図1



点Pは辺BC上にある点で、頂点B、頂点Cのいずれにも一致しない。

点Qは辺CD上にある点で、CP=CQである。

頂点Aと点P、点Pと点Qをそれぞれ結ぶ。


図1において、 BAP=a とするとき、

APQの大きさを表す式を、次のアからエのうちから選び、記号で答えよ。

ア (90a)

イ (45a)

ウ (a+45)

エ (a+60)

問題4-2 図形の証明 合同証明:
図2は、図1において、辺ADをDの方向に延ばした直線上にありAD=DEとなる点をE、

点Eと点Qを結んだ線分EQをQの方向に延ばした直線と線分APとの交点をRとした場合を表している。
問題4-2 正方形 図2 合同証明

問題4-2 正方形 図2 合同証明



次の①、②に答えよ。


① ABP EDQ であることを証明せよ。


② 次のの中に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図2において、AB=4cm 、BP=3cmのとき、

線分EQの長さと線分QRの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、:である。

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都立高2020問題4図形の証明 解答

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2020年問題4 > 解答

問題4-1 図形の証明 正方形の性質:
ウ (a+45)

問題4-2 図形の証明 合同証明:
① ABP と EDQにおいて

AB=ED (仮定)・・・(1)

ABP=EDQ (仮定)・・・(2)


BP=BC-CP

=CD-CQ=DQ (仮定)・・・(3)


以上の(1)(2)(3)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

ABP EDQ

証明終



② EQ:QR=25:7である。

都立高2020問題4図形の証明 解説

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2020年問題4 > 解説

問題4-1 図形の証明 正方形の性質:
ウ (a+45)
平面図形分野から、正方形を中心にした総合問題です。計算問題と証明問題は、毎年、出題されています。

「平面図形の総合問題」のポイントは「隠れた図形を発見する」です。

まずは与えられたデータを書きこみしましょう。

問題4-1 正方形 正方形 データ書き込み

問題4-1 正方形 データ書き込み


四角形ABCDは、正方形なので

ABC=BCD=90 となります。

CPQは、辺CP=辺CQなので、直角二等辺三角形となります。


ところで

APCは、 ABPの外角なので

外角APC=a+90  となります。
問題4-1 正方形 直角三角形の発見

問題4-1 正方形 直角三角形の発見



よって

APQ=APCーCPQ

(a+90)45(a+45)

問題4-2 図形の証明 合同証明:
一見すると「正方形の問題」に見えますが、「三角形の合同条件」の問題です。

三角形の合同条件は「辺と角を合わせて3つ見つける」が定石です。

等しい辺と等しい角は、すでに問題文で与えられていますね。

AB=ED  (仮定)・・・(1)

ABP=EDQ  (仮定)・・・(2)


あとは1辺の長さが等しければ、合同条件が完成します。


そこで辺BPと辺DQに注目すると

BP=BC-CP

=CD-CQ=DQ  (仮定)・・・(3)


これで合同条件が準備できましたので、合同条件を記述します。記述問題では「合同条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。

以上の(1)(2)(3)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

ABP EDQ

証明終



② 「線分比」の問題です。「平面図形の総合問題」の場合は、どの解法を用いるか、見抜く必要があります。

まずは図形にデータを書きこみしていきます。
問題4-2 正方形

問題4-2 正方形


①で、すでに合同を証明しているので

BAP=DEQ となります。


また

APB=18090a(90a)

EAR=EAB-BAP

(90a)


よって

APB=EAR

APBとEARは、2つの角がそれぞれ等しいので

APB EAR となります。
問題4-2 正方形 相似の発見

問題4-2 正方形 相似の発見



続いて、相似比を求めていきます。

APBにおいて、三平方の定理より

AP2AB2+BP2

AP242+3225

AP5


EARにおいて

EA=2AD=2×4

8


よって

APB:EAR=AP:EA

=5:8

問題4-2 正方形 相似の比

問題4-2 正方形 相似の比



辺ERの長さ=辺AB ×85

4×85

325


また

辺EQの長さ=辺APの長さ=5  となります。


以上より

EQ:QR=EQ:ER-QR

53255

575

257
問題4-2 正方形 線分の比

問題4-2 正方形 線分の比



お疲れさまでした。この問題4-2は、いわゆる「受験生に100点を取らせないための難問」です。もし初見で解けなくとも、あなたが悪いわけではありません。

難問に挑戦する価値は「100点を目指したい」と「より高度な解法を身につけたい」です。「余裕があれば挑戦してみる」くらいで、ちょうどよいでしょう。

まだ基礎問題が解けていない受験生は、あえて「捨て問」にしてしまっても、合格点には届くでしょう。

都立高2020問題4 参考文献


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 問題4


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


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