東京都立高校2020年共通試験 問題4 図形の証明

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問題４－１　図形の証明　正方形の性質：
図１で、四角形ＡＢＣＤは正方形である。

点Ｐは辺ＢＣ上にある点で、頂点Ｂ、頂点Ｃのいずれにも一致しない。

点Ｑは辺ＣＤ上にある点で、ＣＰ＝ＣＱである。

頂点Ａと点Ｐ、点Ｐと点Ｑをそれぞれ結ぶ。


図１において、 $\mathrm{\angle }$ＢＡＰ＝$a^{\circ }$　とするとき、

$\mathrm{\angle }$ＡＰＱの大きさを表す式を、次のアからエのうちから選び、記号で答えよ。

ア　$(90-a)$度

イ　$(45-a)$度

ウ　$(a+45)$度

エ　$(a+60)$度

問題４－２　図形の証明　合同証明：
図２は、図１において、辺ＡＤをＤの方向に延ばした直線上にありＡＤ＝ＤＥとなる点をＥ、

点Ｅと点Ｑを結んだ線分ＥＱをＱの方向に延ばした直線と線分ＡＰとの交点をＲとした場合を表している。


次の①、②に答えよ。


①　$\mathrm{△}$ＡＢＰ $\equiv$ $\mathrm{△}$ＥＤＱ であることを証明せよ。


②　次の$◻$の中に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図２において、ＡＢ＝４cm 、ＢＰ＝３cmのとき、

線分ＥＱの長さと線分ＱＲの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、${\displaystyle ◻◻:◻}$である。

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問題４－１　図形の証明　正方形の性質：
ウ　$(a+45)$度

問題４－２　図形の証明　合同証明：
①　$\mathrm{△}$ＡＢＰ と $\mathrm{△}$ＥＤＱにおいて

ＡＢ＝ＥＤ (仮定)・・・(１)

$\mathrm{\angle }$ＡＢＰ＝$\mathrm{\angle }$ＥＤＱ (仮定)・・・(２)


ＢＰ＝ＢＣ－ＣＰ

＝ＣＤ－ＣＱ＝ＤＱ (仮定)・・・(３)


以上の(１)(２)(３)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\mathrm{△}$ＡＢＰ $\equiv$ $\mathrm{△}$ＥＤＱ

証明終


②　ＥＱ：ＱＲ＝２５：７である。

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問題４－１　図形の証明　正方形の性質：
ウ　$(a+45)$度
平面図形分野から、正方形を中心にした総合問題です。計算問題と証明問題は、毎年、出題されています。

「平面図形の総合問題」のポイントは「隠れた図形を発見する」です。

まずは与えられたデータを書きこみしましょう。

四角形ＡＢＣＤは、正方形なので

$\mathrm{\angle }$ＡＢＣ＝$\mathrm{\angle }$ＢＣＤ＝${90}^{\circ }$　となります。

$\mathrm{△}$ＣＰＱは、辺ＣＰ＝辺ＣＱなので、直角二等辺三角形となります。


ところで

$\mathrm{\angle }$ＡＰＣは、 $\mathrm{△}$ＡＢＰの外角なので

外角ＡＰＣ＝$a+{90}^{\circ }$　　となります。


よって

$\mathrm{\angle }$ＡＰＱ＝$\mathrm{\angle }$ＡＰＣー$\mathrm{\angle }$ＣＰＱ

＝$(a+90)-45$＝$(a+45)$度

問題４－２　図形の証明　合同証明：
一見すると「正方形の問題」に見えますが、「三角形の合同条件」の問題です。

三角形の合同条件は「辺と角を合わせて３つ見つける」が定石です。

等しい辺と等しい角は、すでに問題文で与えられていますね。

ＡＢ＝ＥＤ　　(仮定)・・・(１)

$\mathrm{\angle }$ＡＢＰ＝$\mathrm{\angle }$ＥＤＱ　　(仮定)・・・(２)


あとは１辺の長さが等しければ、合同条件が完成します。


そこで辺ＢＰと辺ＤＱに注目すると

ＢＰ＝ＢＣ－ＣＰ

＝ＣＤ－ＣＱ＝ＤＱ　　(仮定)・・・(３)


これで合同条件が準備できましたので、合同条件を記述します。記述問題では「合同条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。

以上の(１)(２)(３)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\mathrm{△}$ＡＢＰ $\equiv$ $\mathrm{△}$ＥＤＱ

証明終



②　「線分比」の問題です。「平面図形の総合問題」の場合は、どの解法を用いるか、見抜く必要があります。

まずは図形にデータを書きこみしていきます。

①で、すでに合同を証明しているので

$\mathrm{\angle }$ＢＡＰ＝$\mathrm{\angle }$ＤＥＱ　となります。


また

$\mathrm{\angle }$ＡＰＢ＝$180-90-a$＝$(90-a)$度

$\mathrm{\angle }$ＥＡＲ＝$\mathrm{\angle }$ＥＡＢ－$\mathrm{\angle }$ＢＡＰ

＝$(90-a)$度


よって

$\mathrm{\angle }$ＡＰＢ＝$\mathrm{\angle }$ＥＡＲ

$\mathrm{△}$ＡＰＢと$\mathrm{△}$ＥＡＲは、２つの角がそれぞれ等しいので

$\mathrm{△}$ＡＰＢ $\sim$ $\mathrm{△}$ＥＡＲ　となります。


続いて、相似比を求めていきます。

$\mathrm{△}$ＡＰＢにおいて、三平方の定理より

$A{P}^2$＝$A{B}^2+B{P}^2$

$A{P}^2$＝$4^2+3^2$＝$25$

$AP$＝$5$


$\mathrm{△}$ＥＡＲにおいて

ＥＡ＝２ＡＤ＝$2\times 4$

＝$8$


よって

$\mathrm{△}$ＡＰＢ：$\mathrm{△}$ＥＡＲ＝ＡＰ：ＥＡ

＝５：８



辺ＥＲの長さ＝辺ＡＢ $\times \frac{8}{5}$

＝$4\times \frac{8}{5}$

＝$\frac{32}{5}$


また

辺ＥＱの長さ＝辺ＡＰの長さ＝５　　となります。


以上より

ＥＱ：ＱＲ＝ＥＱ：ＥＲ－ＱＲ

＝$5$：$\frac{32}{5}-5$

＝$5$：$\frac{7}{5}$

＝$25$：$7$


お疲れさまでした。この問題４－２は、いわゆる「受験生に１００点を取らせないための難問」です。もし初見で解けなくとも、あなたが悪いわけではありません。

難問に挑戦する価値は「１００点を目指したい」と「より高度な解法を身につけたい」です。「余裕があれば挑戦してみる」くらいで、ちょうどよいでしょう。

まだ基礎問題が解けていない受験生は、あえて「捨て問」にしてしまっても、合格点には届くでしょう。

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　問題４

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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