東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０２０年問題４ ＞ 解説
問題４－１ 図形の証明 正方形の性質：
ウ $( a + 45 )$度
平面図形分野から、正方形を中心にした総合問題です。計算問題と証明問題は、毎年、出題されています。
「平面図形の総合問題」のポイントは「隠れた図形を発見する」です。
まずは与えられたデータを書きこみしましょう。
問題４－１ 正方形 データ書き込み
四角形ＡＢＣＤは、正方形なので
$\angle$ＡＢＣ＝$\angle$ＢＣＤ＝$90^\circ$ となります。
$\triangle$ＣＰＱは、辺ＣＰ＝辺ＣＱなので、直角二等辺三角形となります。
ところで
$\angle$ＡＰＣは、 $\triangle$ＡＢＰの外角なので
外角ＡＰＣ＝$a+90^\circ$ となります。
問題４－１ 正方形 直角三角形の発見
よって
$\angle$ＡＰＱ＝$\angle$ＡＰＣー$\angle$ＣＰＱ
＝$(a+90)-45$＝
$(a + 45)$度
問題４－２ 図形の証明 合同証明：
一見すると「正方形の問題」に見えますが、「三角形の合同条件」の問題です。
三角形の合同条件は「辺と角を合わせて３つ見つける」が定石です。
等しい辺と等しい角は、すでに問題文で与えられていますね。
ＡＢ＝ＥＤ (仮定)・・・(１)
$\angle$ＡＢＰ＝$\angle$ＥＤＱ (仮定)・・・(２)
あとは１辺の長さが等しければ、合同条件が完成します。
そこで辺ＢＰと辺ＤＱに注目すると
ＢＰ＝ＢＣ－ＣＰ
＝ＣＤ－ＣＱ＝ＤＱ (仮定)・・・(３)
これで合同条件が準備できましたので、合同条件を記述します。記述問題では「合同条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。
以上の(１)(２)(３)より、
三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
$\triangle$ＡＢＰ $\equiv$ $\triangle$ＥＤＱ
証明終
② 「線分比」の問題です。「平面図形の総合問題」の場合は、どの解法を用いるか、見抜く必要があります。
まずは図形にデータを書きこみしていきます。
問題４－２ 正方形
①で、すでに合同を証明しているので
$\angle$ＢＡＰ＝$\angle$ＤＥＱ となります。
また
$\angle$ＡＰＢ＝$180-90-a$＝$(90-a)$度
$\angle$ＥＡＲ＝$\angle$ＥＡＢ－$\angle$ＢＡＰ
＝$(90-a)$度
よって
$\angle$ＡＰＢ＝$\angle$ＥＡＲ
$\triangle$ＡＰＢと$\triangle$ＥＡＲは、２つの角がそれぞれ等しいので
$\triangle$ＡＰＢ $\sim$ $\triangle$ＥＡＲ となります。
問題４－２ 正方形 相似の発見
続いて、相似比を求めていきます。
$\triangle$ＡＰＢにおいて、三平方の定理より
$AP^2$＝$AB^2+BP^2$
$AP^2$＝$4^2+3^2$＝$25$
$AP$＝$5$
$\triangle$ＥＡＲにおいて
ＥＡ＝２ＡＤ＝$2 \times 4$
＝$8$
よって
$\triangle$ＡＰＢ：$\triangle$ＥＡＲ＝ＡＰ：ＥＡ
＝５：８
問題４－２ 正方形 相似の比
辺ＥＲの長さ＝辺ＡＢ $\times \frac{\Large 8}{\Large 5}$
＝$4 \times \frac{\Large 8}{\Large 5}$
＝$\frac{\Large 32}{\Large 5}$
また
辺ＥＱの長さ＝辺ＡＰの長さ＝５ となります。
以上より
ＥＱ：ＱＲ＝ＥＱ：ＥＲ－ＱＲ
＝$5$：$\frac{\Large 32}{\Large 5}-5$
＝$5$：$\frac{\Large 7}{\Large 5}$
＝
$25$：$7$
問題４－２ 正方形 線分の比
お疲れさまでした。この問題４－２は、いわゆる「受験生に１００点を取らせないための難問」です。もし初見で解けなくとも、あなたが悪いわけではありません。
難問に挑戦する価値は「１００点を目指したい」と「より高度な解法を身につけたい」です。「余裕があれば挑戦してみる」くらいで、ちょうどよいでしょう。
まだ基礎問題が解けていない受験生は、あえて「捨て問」にしてしまっても、合格点には届くでしょう。
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