東京都立高校2020年共通試験 問題３ 二次関数

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問題３－１　二次関数　最大最小：
図１で、点Ｏは原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ のグラフを表している。

点Ａは曲線 $\ell$ 上にあり、 $x$ 座標は $4$ である。

曲線 $\ell$ 上にある点をＰとする。

次の各問に答えよ。

点Ｐの $x$ 座標を $a$ 、 $y$ 座標を $b$ とする。

$a$ のとる値の範囲が $-8\leqq a\leqq 2$ のとき、 $b$ のとる値の範囲は、

[　①　] $\leqq b\leqq$ [　②　] 　である

[　①　] と [　②　] に当てはまる数を、アからクよりそれぞれ選び、記号で答えなさい。

ア　$-64$　　イ　$-2$

ウ　$0$　　エ　$\frac{1}{2}$

オ　$1$　　カ　$4$　

キ　$16$　　ク　$64$　

問題３－２　二次関数　直線の式：
点Ｐの $x$ 座標が $-6$ のとき、 2 点Ａ、Ｐを通る直線の式は、

$y$=[　③　]$x$ + [　④　] 　である。


[　③　] と [　④　] に当てはまる数を、アからエよりそれぞれ選び、記号で答えなさい。


[　③　]

ア　$-\frac{5}{2}$　　イ　$-2$

ウ　$-\frac{13}{10}$　　エ　$-\frac{1}{2}$


[　④　]

ア　$12$　　イ　$6$

ウ　$4$　　エ　$2$

問題３－３　二次関数　平面図形の融合：
図２は、図１において、点Ｐの $x$ 座標が $4$ より大きい数であるとき、

$y$ 軸を対称の軸として点Ａと線対称な点をB、

$x$ 軸上にあり、 $x$ 座標が点Ｐの $x$ 座標と等しい点をＱとした場合を表している。



点Ｏと点Ａ、点Ｏと点Ｂ、点Ａと点Ｐ、点Ａと点Ｑ、点Ｂと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。

四角形ＯＡＰＢの面積が $\mathrm{△}$ＡＯＱの面積の４倍となるとき、点Ｐの $x$ 座標を求めよ。

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問題３－１　二次関数　最大最小：
①　ウ　$0$
②　キ　$16$

問題３－２　二次関数　直線の式：
③　エ　$-\frac{1}{2}$
④　イ　$6$

問題３－３　二次関数　平面図形の融合：
$x$ ＝ ８

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問題３－１　二次関数　最大最小：

「二次関数の最大最小」のポイントは「実際にグラフで、目視確認」です。

まずは点Pの移動を、描いてみましょう。

点Pの $x$ 座標は ー８⇒０⇒２と変化します。

点Pの $y$ 座標は １６⇒０⇒１と変化します。

したがって、点Ｐの $y$ 座標 $b$ のとる値の範囲は、

$0\leqq b\leqq 16$ となります。


ちなみに、この問題作成者が受験生用の「ひっかけ」として用意したのは

$1\leqq b\leqq 16$ という誤答です。

この誤答は、計算だけをして、グラフを目視確認していない受験生が、ひっかかるものです。注意しましょう。

問題３－２　二次関数　直線の式：
「直線の式」の問題は、自分の手でグラフを描く技術が必要です。

問題文の場合を、順番に描いていきましょう。



直線ＰＡは、点Ｐ(－６、９)と点Ａ(４、４)を通ります。

直線ＰＡの傾き＝$\frac{y\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}{x\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}$

直線ＰＡの傾き＝$\frac{4-9}{4-(-6)}$

直線ＰＡの傾き＝$-\frac{1}{2}$　　となります。


したがって

直線ＰＡの式＝$y=-\frac{1}{2}x+b$　とおくと

直線ＰＡは、点Ａ(４、４)を通るので

$4=-\frac{1}{2}\times 4+b$

$b=6$


以上より

直線ＰＡの式は　$y$＝$-\frac{1}{2}x+6$ となります。

問題３－３　二次関数　平面図形の融合：
「平面図形の融合」の問題では、「わからない座標は文字で置いておく」という解法があります。

まずは問題文のデータを、書きこみしましょう。



点Ｑの座標を $(t,0)$　　とおくと

点Ｐの $x$ 座標も $t$ となります。

点Ｐは $y=\frac{1}{4}{x}^2$ の上の点なので

点Ｐの座標＝$(t,\frac{1}{4}{t}^2)$　　となります。



座標が定まったら、三角形の面積を求めていきます。

$\mathrm{△}$ＯＡＢ＝底辺ＡＢ $\times$ 高さ $\times \frac{1}{2}$

$\mathrm{△}$ＯＡＢ＝$8\times 4\times \frac{1}{2}$

$\mathrm{△}$ＯＡＢ＝$16$　　となります。


$\mathrm{△}$ＡＯＱ＝底辺ＯＱ $\times$ 高さ $\times \frac{1}{2}$

$\mathrm{△}$ＡＯＱ＝$t\times 4\times \frac{1}{2}$

$\mathrm{△}$ＡＯＱ＝$2t$　　となります。


$\mathrm{△}$ＡＢＰ＝底辺ＡＢ $\times$ 高さ $\times \frac{1}{2}$

$\mathrm{△}$ＡＢＰ＝$8\times (\frac{1}{4}{t}^2-4)\times \frac{1}{2}$

$\mathrm{△}$ＡＢＰ＝$t^2-16$　　となります。



以上より、

$◻$ＯＡＰＢ＝４ $\times \mathrm{△}$ＡＯＱ

$\mathrm{△}$ＯＡＢ＋$\mathrm{△}$ＡＢＰ＝４$\mathrm{△}$ＡＯＱ

$16+(t^2-16)$＝$4\times (2t)$

$t^2$＝$8t$

$t^2-8t$＝$0$

$t(t-8)$＝$0$

$t$＝$0,8$

問題文より $t>4$ なので

$t=8$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　問題３

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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