東京都立高校2020年共通試験 問題3 二次関数

東京都立高校2020年共通試験 問題3 二次関数

東京都立高校2020年共通試験 問題3 二次関数

東京都立高校2020年共通試験 問題3 二次関数

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2020年問題3 > 問題・解答・解説・傾向

問題3-1 二次関数 最大最小:
図1で、点Oは原点、曲線 は関数 y=14x2 のグラフを表している。

点Aは曲線 上にあり、 x 座標は 4 である。

曲線 上にある点をPとする。

問題3-1 二次関数 図1 最大最小

問題3-1 二次関数 図1 最大最小



次の各問に答えよ。

点Pの x 座標を ay 座標を b とする。

a のとる値の範囲が 8a2 のとき、 b のとる値の範囲は、

[ ① ] b [ ② ]  である

[ ① ] と [ ② ] に当てはまる数を、アからクよりそれぞれ選び、記号で答えなさい。

ア 64  イ 2

ウ 0  エ 12

オ 1  カ 4 

キ 16  ク 64 

問題3-2 二次関数 直線の式:
点Pの x 座標が 6 のとき、 2 点A、Pを通る直線の式は、

y=[ ③ ]x + [ ④ ]  である。


[ ③ ] と [ ④ ] に当てはまる数を、アからエよりそれぞれ選び、記号で答えなさい。


[ ③ ]

ア 52  イ 2

ウ 1310  エ 12


[ ④ ]

ア 12  イ 6

ウ 4  エ 2

問題3-3 二次関数 平面図形の融合:
図2は、図1において、点Pの x 座標が 4 より大きい数であるとき、

y 軸を対称の軸として点Aと線対称な点をB、

x 軸上にあり、 x 座標が点Pの x 座標と等しい点をQとした場合を表している。

問題3-3 二次関数 図2 平面図形の融合

問題3-3 二次関数 図2 平面図形の融合



点Oと点A、点Oと点B、点Aと点P、点Aと点Q、点Bと点Pをそれぞれ結んだ場合を考える。

四角形OAPBの面積が AOQの面積の4倍となるとき、点Pの x 座標を求めよ。

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都立高2020問題3二次関数 解答

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2020年問題3 > 解答

問題3-1 二次関数 最大最小:
① ウ 0
② キ 16

問題3-2 二次関数 直線の式:
③ エ 12
④ イ 6

問題3-3 二次関数 平面図形の融合:
x

都立高2020問題3二次関数 解説

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2020年問題3 > 解説

問題3-1 二次関数 最大最小:

「二次関数の最大最小」のポイントは「実際にグラフで、目視確認」です。

まずは点Pの移動を、描いてみましょう。

問題3-1 二次関数 最大最小 データ書き込み

問題3-1 二次関数 最大最小 データ書き込み


点Pの x 座標は ー8⇒0⇒2と変化します。

点Pの y 座標は 16⇒0⇒1と変化します。

したがって、点Pの y 座標 b のとる値の範囲は、

0b16 となります。
問題3-1 二次関数 最大最小 目視確認

問題3-1 二次関数 最大最小 目視確認



ちなみに、この問題作成者が受験生用の「ひっかけ」として用意したのは

1b16 という誤答です。

この誤答は、計算だけをして、グラフを目視確認していない受験生が、ひっかかるものです。注意しましょう。

問題3-2 二次関数 直線の式:
「直線の式」の問題は、自分の手でグラフを描く技術が必要です。

問題文の場合を、順番に描いていきましょう。

問題3-2 二次関数 直線の式

問題3-2 二次関数 直線の式



直線PAは、点P(-6、9)と点A(4、4)を通ります。

直線PAの傾き=yx

直線PAの傾き=494(6)

直線PAの傾き=12  となります。
問題3-2 二次関数 直線の式

問題3-2 二次関数 直線の式



したがって

直線PAの式=y=12x+b とおくと

直線PAは、点A(4、4)を通るので

4=12×4+b

b=6


以上より

直線PAの式は y12x+6 となります。

問題3-3 二次関数 平面図形の融合:
「平面図形の融合」の問題では、「わからない座標は文字で置いておく」という解法があります。

まずは問題文のデータを、書きこみしましょう。

問題3-3 二次関数 平面図形の融合

問題3-3 二次関数 平面図形の融合



点Qの座標を (t,0)  とおくと

点Pの x 座標も t となります。

点Pは y=14x2 の上の点なので

点Pの座標=(t,14t2)  となります。

問題3-3 二次関数 平面図形の融合 文字を置く

問題3-3 二次関数 平面図形の融合 文字を置く



座標が定まったら、三角形の面積を求めていきます。

OAB=底辺AB × 高さ ×12

OAB=8×4×12

OAB=16  となります。


AOQ=底辺OQ × 高さ ×12

AOQ=t×4×12

AOQ=2t  となります。


ABP=底辺AB × 高さ ×12

ABP=8×(14t24)×12

ABP=t216  となります。

問題3-3 二次関数 平面図形の融合

問題3-3 二次関数 平面図形の融合



以上より、

OAPB=4 ×AOQ

OAB+ABP=4AOQ

16+(t216)4×(2t)

t28t

t28t0

t(t8)0

t0,8

問題文より t>4 なので

t=8

都立高2020問題3 参考文献


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 問題3


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


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