東京都立高校2020年共通試験 問題２ 立体図形

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問題２－１　立体図形　円柱：
Ｓさんのクラスでは、先生が示した問題を、みんなで考えた。
次の各問に答えよ。

・・・先生が示した問題・・・

$a , b , h$ を正の数とし、 $a > b$ とする。

図１は、点Ｏ、点Ｐをそれぞれ底面となる円の中心とし、２つの円の半径がともに $a cm$ であり、四角形ＡＢＣＤはＡＢ＝ $h cm$ の長方形で、四角形ＡＢＣＤが側面となる円柱の展開図である。

図２は、点Ｑ、点Ｒをそれぞれ底面となる円の中心とし、２つの円の半径がともに $b cm$ であり、四角形ＥＦＧＨはＥＦ＝ $h cm$ の長方形で、四角形ＥＦＧＨが側面となる円柱の展開図である。

図１を組み立ててできる円柱の体積を $X cm^3$ 、
図２を組み立ててできる円柱の体積を $Y cm^3$ とするとき、
$X-Y$　の値を $a , b , h$ を用いて表しなさい。

・・・先生が示した問題・・・で、

$X-Y$　の値を $a , b , h$ を用いて

$X-Y$＝[　　　　　]と表すとき、[　　　　　]に当てはまる式を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。

ただし、円周率は $\pi$ とする。


ア　$\pi( a^2 - b^2)h$

イ　$\pi( a - b )^2 h$

ウ　$2 \pi ( a - b )h $

エ　$\pi( a - b )h $

問題２－２　立体図形　円柱：
Sさんのグループは・・・先生が示した問題・・・で示された２つの展開図をもとにしてできる長方形が側面となる円柱を考え、その円柱の体積と、 $X$ と $Y$ との和の関係について次の問題を作った。

・・・Sさんのグループが作った問題・・・


$a , b , h$ を正の数とし、 $a > b$ とする。

図３で、四角形ＡＢＧＨは、図１の四角形ＡＢＣＤの辺ＤＣと図２の四角形ＥＦＧＨの辺ＥＦを一致させ、辺ＡＨの長さが、辺ＡＤの長さと辺ＥＨの長さの和となる長方形である。

図４のように、図３の四角形ＡＢＧＨが円柱の側面となるように、辺ＡＢと辺ＨＧを一致させ、組み立ててできる円柱を考える。

・・・先生が示した問題・・・の２つの円柱の体積 $X$ と $Y$ の和を $W cm^3$ 、図４の円柱の体積を $Z cm^3$ とするとき、

$Z-W=2 \pi abh$ となることを確かめてみよう。


・・・Sさんのグループが作った問題・・・で

$Z-W=2 \pi abh$ となることを証明せよ。

ただし、円周率は $\pi$ とする。

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０２０年問題２　＞　解答

問題２－１　立体図形　円柱：
ア　$\pi( a^2 - b^2)h$

問題２－２　立体図形　円柱：
辺ＡＤの長さは、円Ｏの円周の長さと一致するので
辺ＡＤ＝$2a \pi $

同様に、辺ＥＨの長さは、円Ｑの円周の長さと一致するので
辺ＥＨ＝$2b \pi $

辺ＡＨ＝辺ＡＤ＋辺ＥＨなので
辺ＡＨ＝$2a \pi + 2b \pi $

辺ＡＨは、図４の円柱の底面の円周と一致する。この円の半径を $xcm$ とおくと

$2x \pi =2a \pi + 2b \pi $

$x =a+b$　となる。


したがって、図４の円柱の体積 $Z$ は
$Z=x^2 \pi \times h $

$Z=(a+b)^2 \pi h $


したがって、 $Z-W$ は
$Z-W=(a+b)^2 \pi h - \pi( a^2 + b^2)h$

$=(a^2+2ab+b^2) \pi h - ( a^2 + b^2)\pi h$

$=(a^2+2ab+b^2 - a^2 - b^2)\pi h$　　(結合法則)

$=2ab \pi h=2 \pi abh$　

証明終わり

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０２０年問題２　＞　解説

問題２－１　立体図形　円柱：
立体図形。立体図形の表面積($cm^2$)と体積($cm^3$)を求める問題です。文章を読み、展開図から円柱を自分の手で組み立てていきます。数字ではなく文字により計算するので、文字の扱いに慣れておきましょう。

２０１８年、２０１９年、２０２０年と、立体図形を文字で表現する問題が連続していますが、この「思考問題形式」は、今後も増えていくと予想されます。

思考問題形式は、問題文にヒントが隠されていますので、まずは問題文にあるデータを、図形に書きこみしていきましょう。

図１の円柱の底面積＝$a \times a \times \pi$＝$a^2\pi$

図１の円柱の体積 $X$ ＝底面積$\times$高さ

＝$a^2\pi \times h$＝$a^2\pi h$


同様に、

図２の円柱の底面積＝$b \times b \times \pi$＝$b^2\pi$

図２の円柱の体積 $Y$ ＝底面積$\times$高さ

＝$b^2\pi \times h$＝$b^2\pi h$


よって

$X-Y$＝$a^2\pi h - b^2\pi h$

＝$\pi( a^2 - b^2)h$

問題２－２　立体図形　円柱：
円柱の体積を文字で表現する問題で、前問からの誘導があります。

問題文から、データを書きこみしていきます。


図４の円柱 $Z$ の底面積を計算するために、半径を求めていきましょう。

円柱 $Z$ の底面の円周の長さは、長方形の辺ＡＨの長さと一致します。

したがって

底面の円周の長さ＝$2a\pi +2b\pi$

求める半径の長さを $x$ とおくと

直径 $\times$ 円周率＝ 円周　　なので

$2x \times \pi = 2a\pi +2b\pi$

$x = a + b $　　となります。


円柱 $Z$ の底面積＝$x^2\pi$

＝$(a + b)^2\pi$　　になります。


よって

円柱 $Z$ の体積＝$(a + b)^2\pi \times h$　

＝$(a + b)^2\pi h$　　になります。


以上より

$Z-W=(a+b)^2 \pi h - \pi( a^2 + b^2)h$

$=(a^2+2ab+b^2) \pi h - ( a^2 + b^2)\pi h$

$=(a^2+2ab+b^2 - a^2 - b^2)\pi h$　　(結合法則)

$=2ab \pi h=2 \pi abh$　

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　問題２

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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