東京都立高校2020年共通試験 問題１ 小問集合

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問題１－１　四則計算：
$9-8÷\frac{1}{2}$　を計算せよ。

問題１－２　文字と式：
$3(5a-b)-(7a-4b)$　を計算せよ。

問題１－３　無理数の計算
$(2-\sqrt{6})(1+\sqrt{6})$　を計算せよ。

問題１－４　一次方程式の計算：
一次方程式　$9x+4=5(x+8)$　を解け。

問題１－５　連立方程式の計算：
連立方程式　$\left(\begin{array}{l}7x-3y=6\\ x+y=8\end{array}\right)$　を解け。

問題１－６　二次方程式の計算：
二次方程式　$3x^2+9x+5=0$　を解け。

問題１－７　度数分布：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

下表は、ある中学校の生徒40人について、自宅からＡ駅まで歩いたときにかかる時間を調査し、度数分布表に整理したものである。

自宅からＡ駅まで歩いたときにかかる時間が１５分未満である人数は、
全体の人数の[　　　　]％である。

階級(分)	度数(人)
5～10	12
10～15	14
15～20	10
20～25	3
25～30	1
計	40

問題１－８　円と角：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

図８で　点Oは線分ＡＢを直径とする円の中心であり、２点Ｃ、Ｄは円Ｏの周上にある点である。


４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは、図８のように、Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄの順に並んでおり、互いに一致しない。

点Ｏと点Ｃ、点Ａと点Ｃ、点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。

$\mathrm{\angle }$ＡＯＣ＝$\mathrm{\angle }$ＢＤＣ、
$\mathrm{\angle }$ＡＢＤ＝${34}^{\circ }$　のとき、

$X$ で示した$\mathrm{\angle }$ＯＣＤの大きさは [　　　　] 度である。

問題１－９　作図：
図９の $\mathrm{△}$ＡＢＣ は、鋭角三角形である。


辺ＡＣ上にあり、ＡＰ＝ＢＰとなる点Ｐを、定規とコンパスを用いて作図によって求め、点Ｐの位置を示す文字Ｐも書け。ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０２０年問題１　＞　解答

問題１－１　四則計算：
$7$

問題１－２　文字と式：
$8a+b$

問題１－３　無理数の計算
$-4+\sqrt{6}$

問題１－４　一次方程式の計算：
$x=9$

問題１－５　連立方程式の計算：
$\left(\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right)$

問題１－６　二次方程式の計算：
${\displaystyle x=\frac{-9\pm \sqrt{21}}{6}}$

問題１－７　度数分布：
$65$％である。

問題１－８　円と角：
$26$度である。

問題１－９　作図：

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０２０年問題１　＞　解説

問題１－１　四則計算：
$9-8÷\frac{1}{2}$　

＝$5-16$　　(先に割り算をします)　

＝$-7$


問題１－２　文字と式：
$3(5a-b)-(7a-4b)$

＝$15a-3b-7a+4b$　　(分配法則でカッコを外します)　

＝$15a-7a-3b+4b$　　(同類項を計算します)　

＝$8a+b$

問題１－３　無理数の計算
$(2-\sqrt{6})(1+\sqrt{6})$

＝$2+2\sqrt{6}-\sqrt{6}-6$　　(展開)

＝$2-6+2\sqrt{6}-\sqrt{6}$

＝$-4+\sqrt{6}$

問題１－４　一次方程式の計算：
$9x+4=5(x+8)$

$9x+4=5x+40$　　(式を展開します)

$9x-5x=40-4$　　(移項します)

$4x=36$

$x=9$　　(両辺を４で割ります)

問題１－５　連立方程式の計算：
$\left(\begin{array}{l}7x-3y=6\\ x+y=8\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}7x-3y=6\\ 3x+3y=24\end{array}\right)$　　(yの係数を合わせます)

$\left(\begin{array}{l}10x=30\\ 3x+3y=24\end{array}\right)$　　(加減法)

$\left(\begin{array}{l}x=3\\ 3x+3y=24\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}x=3\\ 3\times 3+3y=24\end{array}\right)$　　(xを代入)

$\left(\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right)$

問題１－６　二次方程式の計算：
> $3x^2+9x+5=0$

因数分解はうまくいかないので、二次方程式の「解と係数の公式」を用います。

${\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

${\displaystyle x=\frac{-9\pm \sqrt{9^2-4\times 3\times 5}}{2\times 3}}$

${\displaystyle x=\frac{-9\pm \sqrt{21}}{6}}$

問題１－７　度数分布：

階級(分)	度数(人)
5～10	12
10～15	14
15～20	10
20～25	3
25～30	1
計	40

全体の人数＝４０人

５分以上１０分未満の人数＝１２人

１０分以上１５分未満の人数＝１４人

なので

１５分未満の人数＝１２＋１４＝２６人

したがって

１５分未満の人数の割合＝$\frac{26}{40}\times 100$

＝$65$％である。


問題１－８　円と角：
まずは設問文の条件を、図形に書きこみしてみましょう。


$\mathrm{\angle }$ＡＤＣは円周角で、$\mathrm{\angle }$ＡＯＣは中心角なので、
$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ $\times$ ２＝ $\mathrm{\angle }$ＡＯＣ

仮定より $\mathrm{\angle }$ＡＯＣ＝$\mathrm{\angle }$ＢＤＣなので、
$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ $\times$ ２＝ $\mathrm{\angle }$ＡＯＣ＝ $\mathrm{\angle }$ＢＤＣ

よって
$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ＋$\mathrm{\angle }$ＢＤＣ
$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ＋２$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ
$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝３$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ


$\mathrm{\angle }$ＡＤＢは直径の円周角なので
$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝${90}^{\circ }$

よって
３$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ＝${90}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }$ＡＤＣ＝${30}^{\circ }$とわかります。


$\mathrm{\angle }$ＡＢＤと$\mathrm{\angle }$ＡＣＤは、同じ円周の角なので

$\mathrm{\angle }$ＡＢＤ＝$\mathrm{\angle }$ＡＣＤ＝${34}^{\circ }$


$\mathrm{△}$ＯＡＣに注目すると
$\mathrm{△}$ＯＡＣは辺ＯＡ＝辺ＯＣの二等辺三角形であることがわかります。

さらに$\mathrm{\angle }$ＡＯＣ＝${60}^{\circ }$ なので
$\mathrm{△}$ＯＡＣは正三角形となります。

正三角形の内角は、すべて ${60}^{\circ }$ なので
$\mathrm{\angle }$ＡＯＣ＝$\mathrm{\angle }$ＡＣＯ＝$\mathrm{\angle }$ＣＡＯ＝${60}^{\circ }$

よって
$\mathrm{\angle }X$＝$\mathrm{\angle }$ＡＣＯー$\mathrm{\angle }$ＡＣＤ
$\mathrm{\angle }X$＝${60}^{\circ }-{34}^{\circ }$＝${26}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }X$＝$26$度である。


問題１－９　作図：
中学校で習う作図は垂直二等分線・垂線・角の二等分線の３種類ですから、作図もこのうちのどれかを描くことになります。

問題文をよく読むと、ヒントがあります。問題文の「ＡＰ＝ＢＰとなる点Ｐ」は、「点Ａと点Ｂから距離が等しい」ですので、２点から距離が等しい＝垂直二等分線だとわかります。

問題文の言い回しのなかに、このような作図のヒントが隠されています。

点Ａにコンパスの針を置いて、円を下書きします。

同様に、点Ｂにコンパスの針を置いて、円を下書きします。


下書きの円は、交点ができるように、大きめに描きましょう。

交点２つに合わせて、定規で垂直二等分線を引きましょう。

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　問題１

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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