東京都立高校2019年共通試験 問題５ 立体図形

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問題５－１　立体図形　正三角錐：
図１に示した立体ＡーＢＣＤは、 ＡＢ＝９cm、 ＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝６cm、 $\angle$ＡＢＣ＝$\angle$ＡＢＤ＝$90^\circ$ の正三角錐(せいさんかくすい)である。辺ＣＤ上にある点をＰ、辺ＡＢ上にある点をＱとし、点Ｐと点Ｑを結ぶ。
次の各問に答えよ。

次の[　　　　]の中に当てはまる数字を答えよ。
点Ｐが辺ＣＤの中点、ＡＱ＝６cmのとき、
線分ＰＱの長さは [　　　　]$cm$ である。

問題５－２　立体図形　正三角錐：
次の[　　　　]の中に当てはまる数字を答えよ。

図２は、図１において、点Ｐが頂点Ｃと一致するとき、
辺ＡＤの中点をＲとし、点Ｐと点Ｒ、点Ｑと点Ｒをそれぞれ結んだ場合を表している。

ＡＱ＝８cm のとき
立体Ｒ－ＡＱＰの体積は [　　　　]$cm^3$ である。

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問題５－１　立体図形　正三角錐：
線分ＰＱの長さは $6$$cm$ である。

問題５－２　立体図形　正三角錐：
orange 立体Ｒ－ＡＱＰの体積は $12 \sqrt{3}$$cm^3$ である。

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立体図形からの出題です。都立高校は、毎年、最後に立体図形が出題されます。難易度は、設問１は簡単で、設問２は難しく設定されています。設問１を確実に得点できるように、過去問演習しておきましょう。

問題５－１　立体図形　正三角錐：
問題文に「角度のデータ」が与えられていません。このような場合は「正三角形」や「直角三角形」などの特殊図形が、隠れているのが定石です。

解法　「角度データがない場合は、特殊図形が隠されている」

それでは、隠れている図形を発見するために、データを書きこみしていきましょう。

三角形ＢＣＧは正三角形なので、辺ＢＰは、中線になります。

三角形ＢＣＰは直角三角形なので

三平方の定理より

$BP^2$＝$BC^2-CP^2$

$BP^2$＝$6^2-3^2$=$27$

$BP$＝$3\sqrt{3}$


三角形ＢＰＱは直角三角形なので

三平方の定理より

$PQ^2$＝$BP^2+BQ^2$

$PQ^2$＝$3\sqrt{3}^2+3^2$=$36$

$PQ$＝$6$


問題５－２　立体図形　正三角錐：
立体図形の体積の問題で、線分比に注目しましょう。

都立高校の立体問題では、一見すると「計算できなそうな立体図形」が登場します。その場合は、頭をやわらかくして、線分比を探してみましょう。

解法　「計算できなそうな立体図形は、線分比を探す」

立体Ｒ－ＡＱＰをいきなり求めるのではなく、正三角錐Ａ－ＢＣＤを先に求めてから、比によって立体Ｒ－ＡＱＰを計算します。

正三角錐Ａ－ＢＣＤの体積＝底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{\Large 1}{\Large 3}$

＝三角形ＢＣＤ $\times$ ＡＢ $\times \frac{\Large 1}{\Large 3}$

＝$\displaystyle (6 \times 3\sqrt{3} \times \frac{1}{2}) \times 9 \times \frac{1}{3}$

＝$27\sqrt{3}$

後は、各辺の比を求めましょう。

ＡＲ：ＡＤ＝１：２

ＡＱ：ＡＱ＝８：９　　となります。

以上より

立体Ｒ－ＡＱＰ＝正三角錐Ａ－ＢＣＤ $\displaystyle \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{9}$

＝$\displaystyle 27\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{9}$

＝$12\sqrt{3}$ $cm^3$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１９年問題４

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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