東京都立高校2019年共通試験 問題4 図形証明

東京都立高校2019年共通試験 問題4 図形証明

東京都立高校2019年共通試験 問題4 図形証明

東京都立高校2019年共通試験 問題4 図形証明

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題4 > 問題・解答・解説・傾向

問題4-1 平面図形 平行四辺形:
図1で、四角形ABCDは平行四辺形である。

問題4-1 平行四辺形 図1

問題4-1 平行四辺形 図1



点Pは辺CD上にある点で、頂点C、頂点Dのいずれにも一致しない。
頂点Aと点Pを結ぶ。
図1において、
ABC=50
DAP=a とするとき、
APCの大きさを表す式を、次のアからエのうちから選び、記号で答えよ。

ア (a+130)
イ (a+50)
ウ (50a)
エ (130a)

問題4-2 平面図形 相似証明:
図2は、図1において、頂点Bと点Pを結び、頂点Dを通り線分BPに平行な直線を引き、辺ABとの交点をRとした場合を表している。
問題4-2 平行四辺形 図2 相似証明

問題4-2 平行四辺形 図2 相似証明



次の①、②に答えよ。

① ABP PDR であることを証明せよ。
② 次のの中に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図2において、頂点Cと点Rを結び、線分BPと線分CRの交点をSとした場合を考える。
CP:PD=2:1のとき
四角形QBSRの面積は、AQRの面積の倍である。

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都立高2019問題4図形証明 解答

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題4 > 解答

問題4-1 平面図形 平行四辺形:
イ (a+50)

問題4-2 平面図形 相似証明:
① ABP と PDRにおいて

ABPD  (仮定) なので

BAP=DPR  (錯角)・・・(1)


ABP と AQRにおいて

BPQR  (仮定) なので

ABP=AQR  (同位角)・・・(2)


AQR と PDRにおいて

AQPD  (仮定) なので

AQR=PDR  (錯角)・・・(3)


(2)(3)より

ABP=AQR=PDR ・・・(4)


以上の(1)(4)より、

三角形の、二角がそれぞれ等しいので

ABP PDR

証明終


② 四角形QBSRの面積は、AQRの面積の1312倍である。

都立高2019問題4図形証明 解説

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題4 > 解説

問題4-1 平面図形 平行四辺形:
平面図形分野から、平行四辺形を中心にした総合問題です。計算問題と証明問題は、毎年、出題されています。

まずは与えられたデータを書きこみしましょう。

問題4-1 平行四辺形 平行四辺形 データ書き込み

問題4-1 平行四辺形 データ書き込み


平行四辺形の向かいあう角は等しいので

ABC=CDA=50 となります。

APCは、 ADPの外角なので

外角APC=a+50度となります。
問題4-1 平行四辺形 三角形の外角

問題4-1 平行四辺形 三角形の外角



問題4-2 平面図形 相似証明:
一見すると「平行四辺形の問題」に見えますが、「三角形の相似条件」の問題です。

三角形の相似条件は「角を2つ見つける」が定石です。

平行線がいくつも、問題文で与えられていますね。

ABP と PDRにおいて

ABPD  (仮定) なので

BAP=DPR  (錯角)・・・(1)


ABP と AQRにおいて

BPQR  (仮定) なので

ABP=AQR  (同位角)・・・(2)


AQR と PDRにおいて

AQPD  (仮定) なので

AQR=PDR  (錯角)・・・(3)


(2)(3)より

ABP=AQR=PDR ・・・(4)

これで相似条件が準備できましたので、相似条件を記述します。記述問題では「相似条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。

以上の(1)(4)より、

三角形の、二角がそれぞれ等しいので

ABP PDR

証明終



② 「面積比」の問題です。「平面図形の総合問題」のポイントは「隠れた図形を発見する」です。

まずは図形にデータを書きこみしていきます。
問題4-2 平行四辺形

問題4-2 平行四辺形


BPQD なので

PSC=DRC

SPC=RDC より

CSP CRD  となります。

相似比は、辺CP:辺CD

=辺CP:辺CP+PD

=2:2+1=2:3  となります。
問題4-2 平行四辺形 相似の発見

問題4-2 平行四辺形 相似の発見


BACD なので

AQR PDR となります。

相似比は、辺AQ:辺PD

=辺AB-BQ:辺PD  ・・・(1)


四角形QBPDは対辺がそれぞれ平行なので、平行四辺形となります。

よって

辺BQ=辺PD  ・・・(2)


(1)(2)より

辺AQ:辺PD=辺AB-BQ:辺PD

=辺CD-PD:辺PD

=3-1:1=2:1  となります。


よって

AQRと PDRの面積の比は

AQR:PDR=2212

41  ・・・(3)
問題4-2 平行四辺形 相似の比

問題4-2 平行四辺形 相似の比


線分の比を整理すると

QR:RD=2:1

RD:SP=3:2  なので

QR:RD:SP=6:3:2

QD:QR:RD:SP=9:6:3:2  となります。


また

辺QD=辺BPなので

QD:SP=9:2

BP:SP=9:2

また

BS:SP=BP-SP:SP

9-2:2=7:2  となります。


ここで

PDRとRSPとSRQとQBSは、高さが同じ三角形なので、面積の比=底辺の比となります。

PDR:RSP:SRQ:QBS

=3:2:6:7  となります。
問題4-2 平行四辺形 線分の比

問題4-2 平行四辺形 線分の比


以上より

QBSR:PDR=SRQ+QBS:PDR

=6+7:3=13:3


(3)より AQR:PDR=4:1  なので

QBSR:AQR=QBSR:4PDR

=13:4 ×

=13:12

13121


四角形QBSRの面積は、AQRの面積の1312倍である。

お疲れさまでした。この問題4-2は、いわゆる「受験生に100点を取らせないための難問」です。もし初見で解けなくとも、あなたが悪いわけではありません。

難問に挑戦する価値は「100点を目指したい」と「より高度な解法を身につけたい」です。「余裕があれば挑戦してみる」くらいで、ちょうどよいでしょう。

まだ基礎問題が解けていない受験生は、あえて「捨て問」にしてしまっても、合格点には届くでしょう。

都立高2019問題4 参考文献


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 2019年問題4


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


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