東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題4 > 解説
問題4-1 平面図形 平行四辺形:
平面図形分野から、平行四辺形を中心にした総合問題です。計算問題と証明問題は、毎年、出題されています。
まずは与えられたデータを書きこみしましょう。

問題4-1 平行四辺形 データ書き込み
平行四辺形の向かいあう角は等しいので
ABC=CDA= となります。
APCは、 ADPの外角なので
外角APC=
度となります。

問題4-1 平行四辺形 三角形の外角
問題4-2 平面図形 相似証明:
一見すると「平行四辺形の問題」に見えますが、「三角形の相似条件」の問題です。
三角形の相似条件は「角を2つ見つける」が定石です。
平行線がいくつも、問題文で与えられていますね。
ABP と PDRにおいて
ABPD (仮定) なので
BAP=DPR (錯角)・・・(1)
ABP と AQRにおいて
BPQR (仮定) なので
ABP=AQR (同位角)・・・(2)
AQR と PDRにおいて
AQPD (仮定) なので
AQR=PDR (錯角)・・・(3)
(2)(3)より
ABP=AQR=PDR ・・・(4)
これで相似条件が準備できましたので、相似条件を記述します。記述問題では「相似条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。
以上の(1)(4)より、
三角形の、二角がそれぞれ等しいので
ABP PDR
証明終
② 「面積比」の問題です。「平面図形の総合問題」のポイントは「隠れた図形を発見する」です。
まずは図形にデータを書きこみしていきます。

問題4-2 平行四辺形
BPQD なので
PSC=DRC
SPC=RDC より
CSP CRD となります。
相似比は、辺CP:辺CD
=辺CP:辺CP+PD
=2:2+1=2:3 となります。

問題4-2 平行四辺形 相似の発見
BACD なので
AQR PDR となります。
相似比は、辺AQ:辺PD
=辺AB-BQ:辺PD ・・・(1)
四角形QBPDは対辺がそれぞれ平行なので、平行四辺形となります。
よって
辺BQ=辺PD ・・・(2)
(1)(2)より
辺AQ:辺PD=辺AB-BQ:辺PD
=辺CD-PD:辺PD
=3-1:1=2:1 となります。
よって
AQRと PDRの面積の比は
AQR:PDR=:
=: ・・・(3)

問題4-2 平行四辺形 相似の比
線分の比を整理すると
QR:RD=2:1
RD:SP=3:2 なので
QR:RD:SP=6:3:2
QD:QR:RD:SP=9:6:3:2 となります。
また
辺QD=辺BPなので
QD:SP=9:2
BP:SP=9:2
また
BS:SP=BP-SP:SP
9-2:2=7:2 となります。
ここで
PDRとRSPとSRQとQBSは、高さが同じ三角形なので、面積の比=底辺の比となります。
PDR:RSP:SRQ:QBS
=3:2:6:7 となります。

問題4-2 平行四辺形 線分の比
以上より
QBSR:PDR=SRQ+QBS:PDR
=6+7:3=13:3
(3)より AQR:PDR=4:1 なので
QBSR:AQR=QBSR:4PDR
=13:4 3
=13:12
=:
四角形QBSRの面積は、AQRの面積の
倍である。
お疲れさまでした。この問題4-2は、いわゆる「受験生に100点を取らせないための難問」です。もし初見で解けなくとも、あなたが悪いわけではありません。
難問に挑戦する価値は「100点を目指したい」と「より高度な解法を身につけたい」です。「余裕があれば挑戦してみる」くらいで、ちょうどよいでしょう。
まだ基礎問題が解けていない受験生は、あえて「捨て問」にしてしまっても、合格点には届くでしょう。
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