東京都立高校2019年共通試験 問題３ 一次関数

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問題３－１　一次関数　座標計算：
図１で、点Ｏは原点、直線 $\ell$ は関数 $y=-x+9$ のグラフを表している。

直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点をＡ、

直線 $\ell$ 上にある点をＰとする。

次の各問に答えよ。

次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

点Ｐの $x$ 座標が $-4$ のとき、

点Ｐの $y$ 座標は[　　　　]である。

問題３－２　一次関数　平面図形の融合：
図２は、図１において、点Ｐの $x$ 座標が $9$ より小さい正の数であるとき、

$y$ 軸上にあり、 $y$ 座標が $-3$ である点をＢ、

$y$ 軸を対称の軸として点Ｐと線対称な点をＱ、

２点Ｂ、Ｑを通る直線を $m$ とし、

点Ａと点Ｂ、点Ｂと点Ｐ、点Ｐと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表わしている。

次の①、②に答えよ。


①　点Ｐが点(２、７)のとき、

直線 $m$ の式を、次のアからエのうちから選び、記号で答えよ。

ア　$y=-5x-3$

イ　$y=-3x-5$

ウ　$y=-2x-3$

エ　$y=5x-3$



②　$\mathrm{△}$ＢＰＱの面積が、$\mathrm{△}$ＢＡＰの面積の２倍になるとき、点Ｐの $x$ 座標を求めよ。

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問題３－１　一次関数　座標計算：
点Ｐの $y$ 座標は１３である。

問題３－２　一次関数　平面図形の融合：
①　ア　$y=-5x-3$

②　点Ｐの $x$ 座標は６である。

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一次関数は基本問題も出題されますが、都立高校受験では「一次関数＋他分野との融合問題」が主役になります。教科書の学習を終えたら、より上位の解法を習得していきましょう。

問題３－１　一次関数　座標計算：
「一次関数の座標計算」のポイントは「実際にグラフで、目視確認」です。

点Ｐは直線$\ell$上の点なので

$y$＝$-x+9$へ、点Pの $x$ 座標を代入して

$y$＝$-(-4)+9$

$y$＝$13$

問題３－２　一次関数　平面図形の融合：
「平面図形の融合」の問題は、自分の手でグラフを描く技術が必要です。

問題文の場合を、順番に描いていきましょう。



①　点Ｐ $(2,7)$　　ならば

点Ｑは線対称の点なので

点Ｑ $(-2,7)$　　となります。


直線 $m$ は一次関数なので　

$y$＝$ax+b$　　とおけます。


$m$ は点Ｑ$(-2,7)$ と点Ｂ$(0,3)$ を通るので

それぞれの $x$ 座標 と $y$ 座標を代入して

$\left(\begin{array}{l}7=-2a+b\\ -3=0\times a+b\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}7=-2a+b\\ -3=b\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}7=-2a-3\\ -3=b\end{array}\right)$　　($b$の値を代入)

$\left(\begin{array}{l}10=-2a\\ -3=b\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}a=-5\\ b=-3\end{array}\right)$


以上より

直線 $m$ の式は $y=-5x-3$


②　「平面図形の融合」の問題では、「わからない座標は文字で置いておく」という解法があります。

まずは問題文のデータを、書きこみしましょう。

点Pの $x$ 座標 を $t$ とおくと

点Ｐは直線 $y=-x+9$ の上にあるので

点Ｐの $y$ 座標 は $-t+9$　　となります。


この時

点Ｑは線対称の点なので

点Ｑ $(-t,9-t)$　　となります。




座標が定まったら、図形の面積を求めていきます。

図形が計算しやすいように、ＱＰの中点をＷとおきます。

$\mathrm{△}$ＢＰＱ＝底辺ＱＰ $\times$ 高さＷＢ $\times \frac{1}{2}$

＝$\{t-(-t)\}\times \{(9-t)-(-3)\}\times \frac{1}{2}$

＝$12t-t^2$　　となります。


$\mathrm{△}$ＢＡＰは、図形を工夫して計算します。

図形が計算しやすいように、点Ｃを定めます。点Ｃは、点Ａと $x$ 座標が同じで、点Ｂと $y$ 座標が同じとします。

$\mathrm{△}$ＢＡＰ＝五角形ＡＣＢＷＰ－$\mathrm{△}$ＰＢＷ－$\mathrm{△}$ＡＢＣ　　・・・（１）


五角形ＡＣＢＷＰ＝台形ＷＰＡＯ＋長方形ＯＡＣＢ

＝$(t+9)\times (9-t)\times \frac{1}{2}+9\times 3$

＝$\frac{1}{2}(81-t^2)+27$

＝$\frac{135}{2}-\frac{1}{2}{t}^2$　　・・・（２）



$\mathrm{△}$ＰＢＷ＝$\frac{1}{2}\mathrm{△}$ＢＰＱ

＝$6t-\frac{1}{2}{t}^2$　　・・・（３）


$\mathrm{△}$ＡＢＣ＝$9\times 3\times \frac{1}{2}$

＝$\frac{27}{2}$　　・・・（４）


（１）（２）（３）（４）より

$\mathrm{△}$ＢＡＰ＝$(\frac{135}{2}-\frac{1}{2}{t}^2)-(6t-\frac{1}{2}{t}^2)-\frac{27}{2}$

＝$-6t+54$




以上より、

$\mathrm{△}$ＢＰＱ＝$2\times \mathrm{△}$ＢＡＰ　　(仮定)

$12t-t^2$＝$2(-6t+54)$

$-t^2+24t-108$＝$0$

$t^2-24t+108$＝$0$

$(t-6)(t-18)$＝$0$

$t$＝$6,18$

問題文より $0<t<9$ なので

$t$＝$6$


点Ｐの $x$ 座標は６である。

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１９年問題３

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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