東京都立高校2019年共通試験 問題3 一次関数

東京都立高校2019年共通試験 問題3 一次関数

東京都立高校2019年共通試験 問題3 一次関数

東京都立高校2019年共通試験 問題3 一次関数

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題3 > 問題・解答・解説・傾向

問題3-1 一次関数 座標計算:
図1で、点Oは原点、直線 は関数 y=x+9 のグラフを表している。

直線 x 軸との交点をA、

直線 上にある点をPとする。

次の各問に答えよ。

問題3-1 一次関数 図1 座標計算

問題3-1 一次関数 図1 座標計算



次の[    ]に当てはまる数字を答えよ。

点Pの x 座標が 4 のとき、

点Pの y 座標は[    ]である。

問題3-2 一次関数 平面図形の融合:
図2は、図1において、点Pの x 座標が 9 より小さい正の数であるとき、

y 軸上にあり、 y 座標が 3 である点をB、

y 軸を対称の軸として点Pと線対称な点をQ、

2点B、Qを通る直線を m とし、

点Aと点B、点Bと点P、点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表わしている。

次の①、②に答えよ。
問題3-2 一次関数 図2 平面図形の融合

問題3-2 一次関数 図2 平面図形の融合



① 点Pが点(2、7)のとき、

直線 m の式を、次のアからエのうちから選び、記号で答えよ。

ア y=5x3

イ y=3x5

ウ y=2x3

エ y=5x3



② BPQの面積が、BAPの面積の2倍になるとき、点Pの x 座標を求めよ。

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都立高2019問題3 一次関数 解答

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問題3-1 一次関数 座標計算:
点Pの y 座標は13である。

問題3-2 一次関数 平面図形の融合:
① ア y=5x3

② 点Pの x 座標はである。

都立高2019問題3 一次関数 解説

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一次関数は基本問題も出題されますが、都立高校受験では「一次関数+他分野との融合問題」が主役になります。教科書の学習を終えたら、より上位の解法を習得していきましょう。

問題3-1 一次関数 座標計算:
「一次関数の座標計算」のポイントは「実際にグラフで、目視確認」です。

問題3-1 一次関数 座標計算 データ書き込み

問題3-1 一次関数 座標計算 データ書き込み


点Pは直線上の点なので

yx+9へ、点Pの x 座標を代入して

y(4)+9

y13

問題3-2 一次関数 平面図形の融合:
「平面図形の融合」の問題は、自分の手でグラフを描く技術が必要です。

問題文の場合を、順番に描いていきましょう。

問題3-2 一次関数 平面図形の融合

問題3-2 一次関数 平面図形の融合



① 点P (2,7)  ならば

点Qは線対称の点なので

点Q (2,7)  となります。


直線 m は一次関数なので 

yax+b  とおけます。


m は点Q(2,7) と点B(0,3) を通るので

それぞれの x 座標 と y 座標を代入して

(7=2a+b3=0×a+b)

(7=2a+b3=b)

(7=2a33=b)  (bの値を代入)

(10=2a3=b)

(a=5b=3)


以上より

直線 m の式は y=5x3


② 「平面図形の融合」の問題では、「わからない座標は文字で置いておく」という解法があります。

まずは問題文のデータを、書きこみしましょう。

点Pの x 座標 を t とおくと

点Pは直線 y=x+9 の上にあるので

点Pの y 座標 は t+9  となります。


この時

点Qは線対称の点なので

点Q (t,9t)  となります。


問題3-2 一次関数 平面図形の融合

問題3-2 一次関数 平面図形の融合



座標が定まったら、図形の面積を求めていきます。

図形が計算しやすいように、QPの中点をWとおきます。

BPQ=底辺QP × 高さWB ×12

{t(t)}×{(9t)(3)}×12

12tt2  となります。


BAPは、図形を工夫して計算します。

図形が計算しやすいように、点Cを定めます。点Cは、点Aと x 座標が同じで、点Bと y 座標が同じとします。

BAP=五角形ACBWP-PBW-ABC  ・・・(1)


五角形ACBWP=台形WPAO+長方形OACB

(t+9)×(9t)×12+9×3

12(81t2)+27

135212t2  ・・・(2)



PBW=12BPQ

6t12t2  ・・・(3)


ABC=9×3×12

272  ・・・(4)


(1)(2)(3)(4)より

BAP=(135212t2)(6t12t2)272

6t+54

問題3-2 一次関数 面積の計算

問題3-2 一次関数 面積の計算




以上より、

BPQ=2×BAP  (仮定)

12tt22(6t+54)

t2+24t1080

t224t+1080

(t6)(t18)0

t6,18

問題文より 0<t<9 なので

t6


点Pの x 座標はである。

都立高2019問題3 参考文献


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 2019年問題3


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


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