東京都立高校2019年共通試験 問題２ 平面図形

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問題２－１　平面図形　正方形と円：
Ｓさんのクラスでは、先生が示した問題を、みんなで考えた。
次の各問に答えよ。

・・・先生が示した問題・・・

$a$ を正の数 、 $n$ を２以上の自然数とする。

図１で、四角形ＡＢＣＤは、１辺 $a$ cm の正方形であり、点Ｐは、四角形ＡＢＣＤの２つの対角線の交点である。

１辺 $a$ cmの正方形を、次の[きまり]に従って、順にいくつか重ねてできる図形の周の長さについて考える。

[きまり]

次の①から③を全て満たすように正方形を重ねる。

①　重ねる正方形の頂点の１つを、重ねられる正方形の対角線の交点に一致させる。

②　重ねる正方形の対角線の交点を、重ねられる正方形の頂点の１つに一致させる。

③　対角線の交点は、互いに一致せず、全て１つの直線上に並ぶようにする。


正方形を順に重ねてできる図形の周の長さは、図に示す太線の部分とし、点線の部分は含まないものとする。

例えば、図２は、２個の 正方形を重ねてできた図形であり、周の長さは $6a$ cmとなる。

図３は、３個の正方形を重ねてできた図形であり、周の長さは $8a$ cmとなる。

図４は、正方形を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形を表している。


１辺 $a$ cmの正方形を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形の周の長さを $L$ cm とするとき、 $L$ を $a$ 、 $n$ を用いて表しなさい。


Ｓさんは・・・先生が示した問題・・・の答えを、次の形の式で表した。

Ｓさんの答えは正しかった。

〈Sさんの答え〉 $L$＝[　　　　　]

〈Sさんの答え〉の[　　　　　] に当てはまる式を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。

ア　$4an$

イ　$a(n+4)$

ウ　$2a(n+2)$

エ　$2a(n+1)$

問題２－２　平面図形　正方形と円：
Ｓさんのグループは・・・先生が示した問題・・・をもとにして、正方形を円に変え、合同な円をいくつか重ねてできる図形の周の長さを求める問題を考えた。

・・・Sさんのグループが作った問題・・・
$\ell$ 、 $r$ を正の数、 $n$ を２以上の自然数とする。

図５で、点Ｏは、半径 $r$ cmの円の中心である。


半径 $r$ cmの円を、次の[きまり]に従って、 順にいくつか重ねてできる図形の周りの長さについて考える。

[きまり]

次の①、②をともに満たすように円を重ねる。

①　重ねる円の周上にある１点を、重ねられる円の中心に一致させる。

②　円の中心は、互いに一致せず、全て１つの直線上に並ぶようにする。


図６は、円を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形を表している。

この図形の周の長さは、太線の部分とし、点線の部分は含まないものとする。

半径 $r$ cmの円を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形の周の長さを $M$ cm、

半径 $r$ cmの円の周の長さを $\ell$ cmとするとき、

$M$=$\displaystyle \frac{1}{3} \ell (n + 2)$ となることを示してみよう。


・・・Sさんのグループが作った問題・・・で、

$M$=$\displaystyle \frac{1}{3} \ell (n + 2)$となることを示せ。

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問題２－１　平面図形　正方形：
エ　$2a(n+1)$

問題２－２　平面図形　正方形と円：

円の半径は $r$ cmなので、

円周の長さ＝$2r \pi $

このとき、円を重ねていくと

１個めの円の周は、１２０度分の円の周が減算されて

$\displaystyle 2r \pi - 2r \pi \times \frac{120}{360}$＝$\displaystyle \frac{4}{3}r \pi$

２個めの円の周は、２４０度分の円の周が減算されて

$\displaystyle 2r \pi - 2r \pi \times \frac{240}{360}$＝$\displaystyle \frac{2}{3}r \pi$

以後、２個めから(ｎー１)個めまでの円の周は $\displaystyle \frac{2}{3}r \pi$

ｎ個めの円の周は、１２０度分の円の周が減算されて

$\displaystyle 2r \pi - 2r \pi \times \frac{120}{360}$＝$\displaystyle \frac{4}{3}r \pi$
となる。

以上より、

太線の周の長さＭ＝$\displaystyle \frac{4}{3}r \pi \times 2 + \frac{2}{3}r \pi \times (n-2)$

＝$\displaystyle \frac{8}{3}r \pi + \frac{2}{3}r \pi \times (n-2)$

＝$\displaystyle \frac{2}{3}r \pi \{4 + (n-2)\}$

＝$\displaystyle \frac{1}{3} \times 2 r \pi (n+2)$

ここで　$\ell=2 r \pi$　なので

Ｍ＝$\displaystyle \frac{1}{3} \ell (n+2)$

証明終わり

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平面図形の周の長さ($cm$)を求める問題です。文章を読み、正方形と円を自分の手で組み立てていきます。数字ではなく文字により計算するので、文字の扱いに慣れておきましょう。文章題をていねいに読む思考形式なので、隠されたヒントを見つけるのが大事です。

問題２－１　平面図形　正方形：
２０１８年、２０１９年、２０２０年と、平面図形を文字で表現する問題が連続していますが、この「思考問題形式」は、今後も増えていくと予想されます。

思考問題形式は、問題文にヒントが隠されていますので、まずは問題文にあるデータを、図形に書きこみしていきましょう。

正方形の１辺は $a$ cmの正方形なので、

周の長さ＝$4a$

このとき、正方形を重ねていくと、正方形の辺同士は、中点で交わります。

１個めの正方形の周は

$\displaystyle 4a - 2 \times \frac{1}{2}a$＝$\displaystyle 3a$

２個めの正方形の周は

$\displaystyle 4a - 4 \times \frac{1}{2}a$＝$\displaystyle 2a$

以後、２個めから(ｎー１)個めまでの正方形の周は $\displaystyle 2a$

ｎ個めの正方形の周は

$\displaystyle 4a - 2 \times \frac{1}{2}a$＝$\displaystyle 3a$　となります。


以上より、

太線の周の長さＬ＝$3a \times 2 + 2a \times (n-2)$

＝$6a + 2an - 4a$

＝$2an + 2a$

＝$2a(n + 1)$

問題２－２　平面図形　正方形と円：
円周を文字で表現する問題で、前問からの誘導があります。また「正三角形の発見」という解法も隠されています。

円の半径は $r$ cmなので、

円周の長さ＝$2r \pi $

このとき、円を重ねていくと、周の長さはどのように変化していくでしょうか。


円の中心と円周の交点へ、半径を伸ばしてみます。

すると、正三角形が現れます。正三角形の内角はすべて６０度ですね。


円を重ねると、１個目の円は、１２０度分の円の周が減算されることがわかります。


１個めの円の周は

$\displaystyle 2r \pi - 2r \pi \times \frac{120}{360}$＝$\displaystyle \frac{4}{3}r \pi$

２個めの円の周は、２４０度分の円の周が減算されて

$\displaystyle 2r \pi - 2r \pi \times \frac{240}{360}$＝$\displaystyle \frac{2}{3}r \pi$

以後、２個めから(ｎー１)個めまでの円の周は $\displaystyle \frac{2}{3}r \pi$

ｎ個めの円の周は、１２０度分の円の周が減算されて

$\displaystyle 2r \pi - 2r \pi \times \frac{120}{360}$＝$\displaystyle \frac{4}{3}r \pi$　　となります。

以上より、

太線の周の長さＭ＝$\displaystyle \frac{4}{3}r \pi \times 2 + \frac{2}{3}r \pi \times (n-2)$

＝$\displaystyle \frac{8}{3}r \pi + \frac{2}{3}r \pi \times (n-2)$

＝$\displaystyle \frac{2}{3}r \pi \{4 + (n-2)\}$

＝$\displaystyle \frac{1}{3} \times 2 r \pi (n+2)$

ここで　$\ell=2 r \pi$　なので

Ｍ＝$\displaystyle \frac{1}{3} \ell (n+2)$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１９年問題２

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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