東京都立高校2019年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校2019年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校2019年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校2019年共通試験 問題2 平面図形

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題2 > 問題・解答・解説・傾向

問題2-1 平面図形 正方形と円:
Sさんのクラスでは、先生が示した問題を、みんなで考えた。
次の各問に答えよ。

・・・先生が示した問題・・・

a を正の数 、 n を2以上の自然数とする。

図1で、四角形ABCDは、1辺 a cm の正方形であり、点Pは、四角形ABCDの2つの対角線の交点である。

問題2-1 図1 平面図形 正方形と円

問題2-1 図1 平面図形 正方形と円


1辺 a cmの正方形を、次の[きまり]に従って、順にいくつか重ねてできる図形の周の長さについて考える。

[きまり]

次の①から③を全て満たすように正方形を重ねる。

① 重ねる正方形の頂点の1つを、重ねられる正方形の対角線の交点に一致させる。

② 重ねる正方形の対角線の交点を、重ねられる正方形の頂点の1つに一致させる。

③ 対角線の交点は、互いに一致せず、全て1つの直線上に並ぶようにする。


正方形を順に重ねてできる図形の周の長さは、図に示す太線の部分とし、点線の部分は含まないものとする。

例えば、図2は、2個の 正方形を重ねてできた図形であり、周の長さは 6a cmとなる。

図3は、3個の正方形を重ねてできた図形であり、周の長さは 8a cmとなる。

図4は、正方形を n 個目まで順に重ねてできた図形を表している。
問題2-1 図2から4 平面図形 正方形と円

問題2-1 図2から4 平面図形 正方形と円



1辺 a cmの正方形を n 個目まで順に重ねてできた図形の周の長さを L cm とするとき、 Lan を用いて表しなさい。


Sさんは・・・先生が示した問題・・・の答えを、次の形の式で表した。

Sさんの答えは正しかった。

〈Sさんの答え〉 L=[     ]

〈Sさんの答え〉の[     ] に当てはまる式を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。

ア 4an

イ a(n+4)

ウ 2a(n+2)

エ 2a(n+1)

問題2-2 平面図形 正方形と円:
Sさんのグループは・・・先生が示した問題・・・をもとにして、正方形を円に変え、合同な円をいくつか重ねてできる図形の周の長さを求める問題を考えた。

・・・Sさんのグループが作った問題・・・
r を正の数、 n を2以上の自然数とする。

図5で、点Oは、半径 r cmの円の中心である。
問題2-2 図5から図6 平面図形 正方形と円

問題2-2 図5から図6 平面図形 正方形と円



半径 r cmの円を、次の[きまり]に従って、 順にいくつか重ねてできる図形の周りの長さについて考える。

[きまり]

次の①、②をともに満たすように円を重ねる。

① 重ねる円の周上にある1点を、重ねられる円の中心に一致させる。

② 円の中心は、互いに一致せず、全て1つの直線上に並ぶようにする。


図6は、円を n 個目まで順に重ねてできた図形を表している。

この図形の周の長さは、太線の部分とし、点線の部分は含まないものとする。

半径 r cmの円を n 個目まで順に重ねてできた図形の周の長さを M cm、

半径 r cmの円の周の長さを cmとするとき、

M=13(n+2) となることを示してみよう。


・・・Sさんのグループが作った問題・・・で、

M=13(n+2)となることを示せ。

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都立高2019問題2平面図形 解答

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題2 > 解答

問題2-1 平面図形 正方形:
エ 2a(n+1)

問題2-2 平面図形 正方形と円:

円の半径は r cmなので、

円周の長さ=2rπ

このとき、円を重ねていくと

1個めの円の周は、120度分の円の周が減算されて

2rπ2rπ×12036043rπ

2個めの円の周は、240度分の円の周が減算されて

2rπ2rπ×24036023rπ

以後、2個めから(nー1)個めまでの円の周は 23rπ

n個めの円の周は、120度分の円の周が減算されて

2rπ2rπ×12036043rπ
となる。

以上より、

太線の周の長さM=43rπ×2+23rπ×(n2)

83rπ+23rπ×(n2)

23rπ{4+(n2)}

13×2rπ(n+2)

ここで =2rπ なので

M=13(n+2)

証明終わり


都立高2019問題2平面図形 解説

東京都立高校 数学 共通試験 > 過去問2019年問題2 > 解説

平面図形の周の長さ(cm)を求める問題です。文章を読み、正方形と円を自分の手で組み立てていきます。数字ではなく文字により計算するので、文字の扱いに慣れておきましょう。文章題をていねいに読む思考形式なので、隠されたヒントを見つけるのが大事です。

問題2-1 平面図形 正方形:
2018年、2019年、2020年と、平面図形を文字で表現する問題が連続していますが、この「思考問題形式」は、今後も増えていくと予想されます。

思考問題形式は、問題文にヒントが隠されていますので、まずは問題文にあるデータを、図形に書きこみしていきましょう。

問題2-1 平面図形 正方形と円 正方形の<br>
重なり

問題2-1 平面図形 正方形と円 正方形の重なり



正方形の1辺は a cmの正方形なので、

周の長さ=4a

このとき、正方形を重ねていくと、正方形の辺同士は、中点で交わります。

1個めの正方形の周は

4a2×12a3a

2個めの正方形の周は

4a4×12a2a

以後、2個めから(nー1)個めまでの正方形の周は 2a

n個めの正方形の周は

4a2×12a3a となります。


以上より、

太線の周の長さL=3a×2+2a×(n2)

6a+2an4a

2an+2a

2a(n+1)

問題2-2 平面図形 正方形と円:
円周を文字で表現する問題で、前問からの誘導があります。また「正三角形の発見」という解法も隠されています。

円の半径は r cmなので、

円周の長さ=2rπ

このとき、円を重ねていくと、周の長さはどのように変化していくでしょうか。
問題2-2 平面図形 正方形と円

問題2-2 平面図形 正方形と円



円の中心と円周の交点へ、半径を伸ばしてみます。

すると、正三角形が現れます。正三角形の内角はすべて60度ですね。
問題2-2 平面図形 正方形と円 正三角形の発見

問題2-2 平面図形 正方形と円 正三角形の発見



円を重ねると、1個目の円は、120度分の円の周が減算されることがわかります。
問題2-2 平面図形 正方形と円 円周の一部

問題2-2 平面図形 正方形と円 円周の一部



1個めの円の周は

2rπ2rπ×12036043rπ

2個めの円の周は、240度分の円の周が減算されて

2rπ2rπ×24036023rπ

以後、2個めから(nー1)個めまでの円の周は 23rπ

n個めの円の周は、120度分の円の周が減算されて

2rπ2rπ×12036043rπ  となります。

以上より、

太線の周の長さM=43rπ×2+23rπ×(n2)

83rπ+23rπ×(n2)

23rπ{4+(n2)}

13×2rπ(n+2)

ここで =2rπ なので

M=13(n+2)

都立高2019問題2 参考文献


【科目】


公立中学数学カリキュラム+高校受験数学


【領域】


数学 > 過去問 > 東京都立高校 > 2019年問題2


【対象生徒】


算数を終えた小学生
数学検定3級以上
中学生(1年・2年・3年)
高校受験生
数学を基礎から学び直したい生徒


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