東京都立高校2019年共通試験 問題１ 小問集合

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問題１－１　四則計算：
$5+\frac{1}{2}\times (-8)$　を計算せよ。

問題１－２　文字と式：
$4(a-b)-(a-9b)$　を計算せよ。

問題１－３　無理数の計算：
$(\sqrt{7}-1{)}^2$　を計算せよ。

問題１－４　一次方程式の計算：
一次方程式　$4x+6=5(x+3)$　を解け。

問題１－５　連立方程式の計算：
連立方程式　$\left(\begin{array}{l}-x+2y=8\\ 3x-y=6\end{array}\right)$　を解け。

問題１－６　二次方程式の計算：
二次方程式　$x^2+x-9=0$　を解け。

問題１－７　確率：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

図１のように、１、２、３、４、５の数字を１つずつ書いた５枚のカードがある。

この５枚のカードから同時に３枚のカードを取り出すとき、

取り出した３枚のカードに書いてある数の積が３の倍数になる確率は[　　　　]である。

ただし、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問題１－８　円と角：
次の[　　　　]に当てはまる数字を答えよ。

図２は、線分ＡＢを直径とする円Ｏであり、２点Ｃ，Ｄは、円Ｏの周上にある点である。


４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは、図２のようにＡ、Ｃ、Ｂ、Ｄの順に並んでおり、互いに一致しない。

点Ａと点Ｃ、点Ａと点Ｄ、点Ｂと点Ｄ、点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。

$\mathrm{\angle }$ＢＡＤ＝${25}^{\circ }$のとき、 $x$で示した$\mathrm{\angle }$ＡＣＤの大きさは[　　　　]度である。

問題１－９　作図：
図３で、点Ａ、点Ｂは、直線$\ell$上にある異なる点である。


図３をもとにして、ＡＢ＝ＡＣ、 $\mathrm{\angle }$ＣＡＢ＝${90}^{\circ }$となる点Ｃを１つ、定規とコンパスを用いて作図によって求め、点Ｃの位置を示す文字Ｃも書け。

ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１９年問題１　＞　解答

問題１－１　四則計算：
$1$

問題１－２　文字と式：
$3a+5b$

問題１－３　無理数の計算：
$8-2\sqrt{7}$

問題１－４　一次方程式の計算：
$x=-9$

問題１－５　連立方程式の計算：
$\left(\begin{array}{l}x=4\\ y=6\end{array}\right)$

問題１－６　二次方程式の計算：
${\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{2}}$

問題１－７　確率：
数の積が３の倍数になる確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$である。

問題１－８　円と角：
$\mathrm{\angle }$ＡＣＤの大きさは$65$度である。

問題１－９　作図：

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１９年問題１　＞　解説

問題１－１　四則計算：
$5+\frac{1}{2}\times (-8)$

＝$5-4$　　(先に掛け算をします)　

＝$1$

問題１－２　文字と式：
$4(a-b)-(a-9b)$

＝$4a-4b-a+9b$　　(分配法則でカッコを外します)　

＝$4a-a-4b+9b$　　(同類項を計算します)　

＝$3a+5b$

問題１－３　無理数の計算：
$(\sqrt{7}-1{)}^2$

＝${\sqrt{7}}^2-2\sqrt{7}+(-1{)}^2$　　(展開)

＝$7-2\sqrt{7}+1$

＝$8-2\sqrt{7}$

問題１－４　一次方程式の計算：
$4x+6=5(x+3)$

$4x+6=5x+15$　　(式を展開します)

$4x-5x=15-6$　　(移項します)

$-x=9$

$x=-9$　　(両辺にー１を掛けます)

問題１－５　連立方程式の計算：
$\left(\begin{array}{l}-x+2y=8\\ 3x-y=6\end{array}\right)$　

$\left(\begin{array}{l}-x+2y=8\\ 6x-2y=12\end{array}\right)$　　　(yの係数を合わせます)

$\left(\begin{array}{l}5x=20\\ 6x-2y=12\end{array}\right)$　　(加減法)

$\left(\begin{array}{l}x=4\\ 6x-2y=12\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}x=4\\ 6\times 4-2y=12\end{array}\right)$　　(xを代入)

$\left(\begin{array}{l}x=4\\ 24-2y=12\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}x=4\\ -2y=12-24\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}x=4\\ -2y=-12\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}x=4\\ y=6\end{array}\right)$

問題１－６　二次方程式の計算：
$x^2+x-9=0$

因数分解はうまくいかないので、二次方程式の「解と係数の公式」を用います。

${\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

${\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\times 1\times (-9)}}{2\times 1}}$

${\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{2}}$

問題１－７　確率：
全体の場合は、５個のカードから、３個のカードを選ぶので

$5\times 4\times 3$＝$60$通り


数の積が３の倍数になるためには、３のカードを取り出せばよい。

３の倍数になる場合は、はじめに３のカードを選ぶ場合は

$1\times (5-1)\times (5-2)$＝$12$通り

２番目に３のカードを選ぶ場合は

$(5-1)\times 1\times (5-2)$＝$12$通り

３番目に３のカードを選ぶ場合は

$(5-1)\times (5-2)\times 1$＝$12$通り

したがって

３の倍数になる確率＝${\displaystyle \frac{３\mathrm{の}\mathrm{倍}\mathrm{数}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{場}\mathrm{合}}{\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{の}\mathrm{場}\mathrm{合}}}$

＝${\displaystyle \frac{12+12+12}{60}}$

＝${\displaystyle \frac{3}{5}}$である。

問題１－８　円と角：
まずは問題文の条件を、図形に書きこみしてみましょう。

$\mathrm{\angle }$ＢＡＤ＝${25}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }$ＡＤＢは直径の円周角なので

$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝${90}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }$ＡＣＤと$\mathrm{\angle }$ＡＢＤは、同じ円周の角なので

$\mathrm{\angle }$ＡＣＤ＝$\mathrm{\angle }$ＡＢＤ＝$x^{\circ }$

以上より

三角形の内角の和は${180}^{\circ }$ なので

＋$\mathrm{\angle }$ＡＢＤ＋$\mathrm{\angle }$ＢＡＣ＋$\mathrm{\angle }$ＡＤＢ＝${180}^{\circ }$

よって
$\mathrm{\angle }X+25+90$＝$180$

$\mathrm{\angle }X$＝$65$

$\mathrm{\angle }X$＝$65$度である。

問題１－９　作図：
中学校で習う作図は垂直二等分線・垂線・角の二等分線の３種類ですから、作図もこのうちのどれかを描くことになります。

問題文をよく読むと、ヒントがあります。問題文の「$\mathrm{\angle }$ＣＡＢ＝${90}^{\circ }$」は、点Ａを通る垂線だとわかります。

問題文の言い回しのなかに、このような作図のヒントが隠されています。

点Ａにコンパスの針を置いて、線分ＡＢを半径とする円を、下書きします。

線分$\ell$上で、点Ｂと反対側の交点を、点Ｄとします。


点Ｂと点Ｄに、それぞれコンパスの針を置いて、円弧を下書きします。半径の長さは、交点ができるように、大きめに描きましょう。




円弧の交点から、点Ａへ、定規で垂線を引き、完成です。

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１９年問題１

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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