東京都立高校2018年共通試験 問題5 立体図形

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問題５－１　立体図形　三角柱：
図１に示した立体ＡＢＣ－ＤＥＦは
ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝9cm、　
$\mathrm{\angle }$ＢＡＣ＝$\mathrm{\angle }$ＢＡＤ＝$\mathrm{\angle }$ＣＡＤ＝${90}^{\circ }$ の三角柱である。

辺ＥＦの中点をＭとする。
頂点Ｃと点Ｍを結び、線分ＣＭ上にある点をＰとする。
頂点Ｂと点Ｐ、頂点Ｄと点Ｐをそれぞれ結ぶ。

次の[　　　　]の中に当てはまる数字を答えよ。

図１において、点Ｐが頂点Ｃに一致するとき、

$\mathrm{\angle }$ＢＰＤの大きさは[　　　　]度である。

問題５－２　立体図形　三角柱：
次の[　　　　]の中に当てはまる数字を答えよ。

図２は、図１において、頂点Ａと点Ｐ、頂点Ｂと頂点Ｄをそれぞれ結んだ場合を表している。



ＣＰ：ＰＭ＝２：１のとき、

立体Ｐ－ＡＢＤの体積は[　　　　]

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問題５－１　立体図形　三角柱：
$\mathrm{\angle }$ＢＰＤ＝${60}^{\circ }$

問題５－２　立体図形　三角柱：
立体Ｐ－ＡＢＤ＝$81c{m}^3$

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立体図形からの出題です。都立高校は、後半に立体図形が出題されます。難易度は、毎年、設問１は簡単で、設問２は難しく設定されています。設問１を確実に得点できるように、過去問演習しておきましょう。

問題５－１　立体図形　三角柱：
問題文に「角度のデータ」が与えられていません。このような場合は「正三角形」や「直角二等辺三角形」などの特殊図形が、隠れているのが定石です。

解法　「角度データがない場合は、特殊図形が隠されている」

それでは隠れている図形を発見するために、データを書きこみしていきましょう。

辺ＡＢ＝辺ＡＣ＝９ｃｍ、 $\mathrm{\angle }$ＢＡＰ＝${90}^{\circ }$ なので

$\mathrm{△}$ＡＢＰ は直角二等辺三角形です。

三平方の定理より

$B{P}^2$＝$A{B}^2+A{P}^2$

よって辺ＢＰ＝$9\sqrt{2}$


同様に、 $\mathrm{△}$ＡＢＤ と $\mathrm{△}$ＡＤＰ も直角二等辺三角形なので

辺ＢＤ＝$9\sqrt{2}$

辺ＤＰ＝$9\sqrt{2}$

以上より

$\mathrm{△}$ＢＰＤ は三辺が等しいので、正三角形となります。

$\mathrm{\angle }$ＢＰＤ は正三角形の内角なので

$\mathrm{\angle }$ＢＰＤ＝${60}^{\circ }$

問題５－２　立体図形　三角柱：
立体図形の体積の問題で、底面に注目しましょう。

都立高校の立体問題では、一見すると「計算できなそうな立体図形」が登場します。その場合は、頭をやわらかくして、底面を探してみましょう。

解法　「計算できなそうな立体図形は、底面を探す」



底面を $\mathrm{△}$ＡＢＤ として立体図形を考えていきましょう。


立体の底面積＝$\mathrm{△}$ＡＢＤの面積なので

立体の底面積＝$9\times 9\times \frac{1}{2}=\frac{81}{2}$　　・・・①



続いて、立体図形の高さを求めます。

平面図(真上から見た図)を描いてみます。

点Ｐから辺ＡＢへ垂線を引き、交点をＨとします。

辺ＰＨが、立体図形の高さになります。


ここで点Ｍは辺ＥＦの中点であり、平面図では辺ＢＣの中点と重なります。

よって辺ＢＭ：辺ＭＣ＝１：１

さらに辺ＭＰ：辺ＰＣ＝１：２なので

比を整理すると

辺ＢＭ：辺ＭＰ：辺ＰＣ＝３：１：２

辺ＢＰ：辺ＰＣ＝３＋１：２＝２：１


$\mathrm{△}$ＡＢＣと$\mathrm{△}$ＨＢＰは相似であり

相似比は　辺ＢＣ：辺ＢＰ＝３：２

よって辺ＡＣ：辺ＨＰ＝３：２＝９cm：６ｃｍ　・・・②


以上の①②より

立体図形Ｐ－ＡＢＤは三角錐なので

立体図形Ｐ－ＡＢＤの体積

＝底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$

＝$\mathrm{△}$ＡＢＤ $\times$ 辺ＨＰ $\times \frac{1}{3}$

＝$\frac{81}{2}\times 6\times \frac{1}{3}$

＝$81c{m}^3$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１８年問題５

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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