東京都立高校2018年共通試験 問題４ 図形証明

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１８年問題４　＞　問題・解答・解説・傾向

問題４－１　円　円周角の定理：
図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする円の中心である。

点Ｃは円Ｏの周上にある点で、$\stackrel{⏜}{AC}$ $=$ $\stackrel{⏜}{BC}$ である。

点Ｐは、点Ｃを含まない $\stackrel{⏜}{AB}$ 上にある点で、点Ａ、点Ｂのいずれにも一致しない。

点Ａと点Ｃ、点Ｃと点Ｐを、それぞれ結び、線分ＡＢと線分ＣＰとの交点をＱとする。

次の各問に答えよ。

図１において　$\mathrm{\angle }$ＡＣＰ＝ $a^{\circ }$ とするとき、

$\mathrm{\angle }$ＡＱＰの大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び記号で答えよ。

ア　$(60-a)$度

イ　$(90-a)$度
　
ウ　$(a+30)$度

エ　$(a+45)$度

問題４－２　図形証明：
図２は、図１において、点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐをそれぞれ結び、線分ＢＰをＰの方向に延ばした直線上にありＢＰ＝ＲＰとなる点をＲとし、点Ａと点Ｒを結んだ場合を表している。


次の①、②に答えよ。


①　$\mathrm{△}$ＡＢＰ $\equiv$ $\mathrm{△}$ＡＲＰ であることを証明せよ。


②　次の$◻$の中に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図２において点Ｏと点Ｐを結んだ場合を考える。

$\stackrel{⏜}{BC}$ $=$ $2\stackrel{⏜}{BP}$ のとき

$\mathrm{△}$ＡＣＱの面積は、四角形ＡＯＰＲの面積の$\frac{◻}{◻}$倍である。

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１８年問題４　＞　問題・解答・解説・傾向

問題４－１　円　円周角の定理：
エ　$(a+45)$度


問題４－２　図形証明：
①　$\mathrm{△}$ＡＢＰ と $\mathrm{△}$ＡＲＰにおいて

AP＝AP (共通)・・・(１)

AB＝AR (仮定)・・・(２)

$\mathrm{\angle }$APB は直径ABに対する円周角なので

$\mathrm{\angle }$APB＝ ${90}^{\circ }$・・・(３)

$\mathrm{\angle }$APR＝ ${180}^{\circ }-$ $\mathrm{\angle }$APB

＝ ${180}^{\circ }-{90}^{\circ }$ ＝ ${90}^{\circ }$・・・(４)


以上の(１)(２)(４)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\mathrm{△}$ＡＢＰ $\equiv$ $\mathrm{△}$ＡＲＰ

証明終


②　$\mathrm{△}$ＡＣＱの面積は、四角形ＡＯＰＲの面積の$\frac{2}{3}$倍である。

東京都立高校　数学　共通試験　＞　過去問２０１８年問題４　＞　問題・解答・解説・傾向

問題４－１　円　円周角の定理：
円は基本問題も出題されますが、高校受験では「円＋他分野との融合問題」が主役になります。教科書の学習を終えたら、より上位の解法を習得していきましょう。

「円周角の定理」のポイントは「データをていねいに書きこむ」です。

まずは与えられた角度を書きこみしましょう。

$\mathrm{\angle }$ＡＣＰ＝ $a^{\circ }$ ですね。

さらにデータを書き込みしていきます。

$\mathrm{\angle }$ＡＣＢは、線分ＡＢを直径とする円周角なので

$\mathrm{\angle }$ＡＣＢ＝ ${90}^{\circ }$ ですね。

$\stackrel{⏜}{AB}$ $=$ $\stackrel{⏜}{BC}$ より

弧の長さが等しければ、円周角も等しくなりますので

$\mathrm{\angle }$ＣＡＢ ＝ $\mathrm{\angle }$ＣＢＡ　＝ ${45}^{\circ }$



円周角の定理を用いて、角度を、 $\mathrm{△}$ＰＢＱ に集めます。


$\mathrm{\angle }$Ｑは、 $\mathrm{△}$ＰＢＱ の外角です。

外角＝隣り合わない内角の和　となりますので

$\mathrm{\angle }$Ｑ ＝ $\mathrm{\angle }$ＱＰＢ + $\mathrm{\angle }$ＱＢＰ

＝$(a+45)$度



問題４－２　図形証明：
一見すると「円の問題」に見えますが、「三角形の合同条件」の問題です。

三角形の合同条件は「辺と角を合わせて３つ見つける」が定石です。

等しい辺は、すでに問題文で与えられていますね。

AP＝AP (共通)・・・(１)

AB＝AR (仮定)・・・(２)


あとは２辺の間の角が等しければ、合同条件が完成します。

そこで$\mathrm{\angle }$APB は直径ABに対する円周角なので

$\mathrm{\angle }$APB＝ ${90}^{\circ }$・・・(３)

となります。ここで円周角の性質を利用するところが、「円の融合問題」の特徴です。

あとは計算して、角度のデータを整理します。

$\mathrm{\angle }$APR＝ ${180}^{\circ }-$ $\mathrm{\angle }$APB

＝ ${180}^{\circ }-{90}^{\circ }$ ＝ ${90}^{\circ }$・・・(４)


これで合同条件が完成しましたので、記述します。記述問題では「合同条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。

以上の(１)(２)(４)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\mathrm{△}$ＡＢＰ $\equiv$ $\mathrm{△}$ＡＲＰ

証明終


②　「面積比」の問題です。「円の融合問題」の場合は、相似を用いることが多いです。

まずは図形を確認しましょう。

$\mathrm{△}$ＡＣＱと四角形ＡＯＰＲの面積ですが、単純には、比が求められなそうです。

そこで、 $\mathrm{△}$ＡＣＱ と $\mathrm{△}$ＯＢＰ の面積比を、まずは求めていきます。


$\stackrel{⏜}{BC}$ $=$ $2\stackrel{⏜}{BP}$ なので

弧ＢＣの長さ：弧ＢＰの長さ＝２：１

円周角ＣＡＢ：円周角ＢＡＰ＝２：１

円周角ＣＡＢ：円周角ＢＡＰ＝${45}^{\circ }$：${22.5}^{\circ }$


中心角ＢＯＰ＝円周角ＢＡＰ$\times$２＝${45}^{\circ }$　・・・（１）

$\mathrm{△}$ＯＢＰは、辺ＯＢ＝辺ＯＰ＝半径なので

$\mathrm{△}$ＯＢＰは二等辺三角形になります。

$\mathrm{\angle }$ＯＢＰ＝$(180-45)÷2$＝${67.5}^{\circ }$

円周角の定理より

円周角ＡＣＰ＝円周角ＡＢＰ＝${67.5}^{\circ }$　・・・（２）

以上の（１）（２）から、三角形の二角がそれぞれ等しいので

$\mathrm{△}$ＡＣＱ $\sim$ $\mathrm{△}$ＯＢＰ


これで相似が証明できましたので、続いて、辺の比を求めていきます。

円周角ＰＡＢ＝円周角ＰＣＢ＝${22.5}^{\circ }$


線分ＯＣを引き、$\mathrm{△}$ＯＢＣに注目すると

$\mathrm{△}$ＯＢＣは直角二等辺三角形なので

$\mathrm{\angle }$ＯＢＣ＝${45}^{\circ }$


線分ＯＣは半径なので

線分ＯＣの長さ＝$r$　とおくと

$\mathrm{△}$ＯＢＣの辺の比は

辺ＯＢ：辺ＯＣ：辺ＢＣ　＝　$r:r:\sqrt{2}r$

＝　$1:1:\sqrt{2}$


$\mathrm{\angle }$ＯＣＱ＝$\mathrm{\angle }$ＢＣＱ＝${22.5}^{\circ }$ なので

直線ＣＱは、角の二等分線だとわかります。

よって

線分ＯＣ：線分ＢＣ ＝ 線分ＯＱ：線分ＢＱ

＝$1:\sqrt{2}$


線分ＡＯ＝線分ＢＯ＝線分ＯＱ＋線分ＢＱ　なので

辺ＡＯ：辺ＯＱ：辺ＢＱ　＝　$1+\sqrt{2}:1:\sqrt{2}$


辺ＡＱ：辺ＯＢ＝$1+\sqrt{2}+1:1+\sqrt{2}$

＝$2+\sqrt{2}:1+\sqrt{2}$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１８年問題４

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


プロ家庭教師の数学教材で、指導歴１０年以上の講師が執筆しています。オンライン学習用で、生徒・保護者・教員・家庭教師のために、無料ダウンロードを提供します。