東京都立高校2018年共通試験 問題４ 図形証明

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問題４－１　円　円周角の定理：
図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする円の中心である。

点Ｃは円Ｏの周上にある点で、$\overparen{ AC }$ $=$ $\overparen{ BC }$ である。

点Ｐは、点Ｃを含まない $\overparen{ AB }$ 上にある点で、点Ａ、点Ｂのいずれにも一致しない。

点Ａと点Ｃ、点Ｃと点Ｐを、それぞれ結び、線分ＡＢと線分ＣＰとの交点をＱとする。

次の各問に答えよ。

図１において　$\angle$ＡＣＰ＝ $a^\circ$ とするとき、

$\angle$ＡＱＰの大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び記号で答えよ。

ア　$(60-a)$度

イ　$(90-a)$度
　
ウ　$(a+30)$度

エ　$(a+45)$度

問題４－２　図形証明：
図２は、図１において、点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐをそれぞれ結び、線分ＢＰをＰの方向に延ばした直線上にありＢＰ＝ＲＰとなる点をＲとし、点Ａと点Ｒを結んだ場合を表している。


次の①、②に答えよ。


①　$\triangle$ＡＢＰ $\equiv$ $\triangle$ＡＲＰ であることを証明せよ。


②　次の$\Large \Box$の中に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図２において点Ｏと点Ｐを結んだ場合を考える。

$\overparen{ BC }$ $=$ $2\overparen{ BP }$ のとき

$\triangle$ＡＣＱの面積は、四角形ＡＯＰＲの面積の$\Large \frac{\Huge \Box}{\Huge \Box}$倍である。

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問題４－１　円　円周角の定理：
エ　$(a+45)$度


問題４－２　図形証明：
①　$\triangle$ＡＢＰ と $\triangle$ＡＲＰにおいて

AP＝AP (共通)・・・(１)

AB＝AR (仮定)・・・(２)

$\angle$APB は直径ABに対する円周角なので

$\angle$APB＝ $90^\circ$・・・(３)

$\angle$APR＝ $180^\circ -$ $\angle$APB

＝ $180^\circ - 90^\circ$ ＝ $90^\circ$・・・(４)


以上の(１)(２)(４)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\triangle$ＡＢＰ $\equiv$ $\triangle$ＡＲＰ

証明終


②　$\triangle$ＡＣＱの面積は、四角形ＡＯＰＲの面積の$\Large \frac{\Large 2}{\Large 3}$倍である。

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問題４－１　円　円周角の定理：
円は基本問題も出題されますが、高校受験では「円＋他分野との融合問題」が主役になります。教科書の学習を終えたら、より上位の解法を習得していきましょう。

「円周角の定理」のポイントは「データをていねいに書きこむ」です。

まずは与えられた角度を書きこみしましょう。

$\angle$ＡＣＰ＝ $a^\circ$ ですね。

さらにデータを書き込みしていきます。

$\angle$ＡＣＢは、線分ＡＢを直径とする円周角なので

$\angle$ＡＣＢ＝ $90^\circ$ ですね。

$\overparen{ AB }$ $=$ $\overparen{ BC }$ より

弧の長さが等しければ、円周角も等しくなりますので

$\angle$ＣＡＢ ＝ $\angle$ＣＢＡ　＝ $45^\circ$



円周角の定理を用いて、角度を、 $\triangle$ＰＢＱ に集めます。


$\angle$Ｑは、 $\triangle$ＰＢＱ の外角です。

外角＝隣り合わない内角の和　となりますので

$\angle$Ｑ ＝ $\angle$ＱＰＢ + $\angle$ＱＢＰ

＝$(a+45)$度



問題４－２　図形証明：
一見すると「円の問題」に見えますが、「三角形の合同条件」の問題です。

三角形の合同条件は「辺と角を合わせて３つ見つける」が定石です。

等しい辺は、すでに問題文で与えられていますね。

AP＝AP (共通)・・・(１)

AB＝AR (仮定)・・・(２)


あとは２辺の間の角が等しければ、合同条件が完成します。

そこで$\angle$APB は直径ABに対する円周角なので

$\angle$APB＝ $90^\circ$・・・(３)

となります。ここで円周角の性質を利用するところが、「円の融合問題」の特徴です。

あとは計算して、角度のデータを整理します。

$\angle$APR＝ $180^\circ -$ $\angle$APB

＝ $180^\circ - 90^\circ$ ＝ $90^\circ$・・・(４)


これで合同条件が完成しましたので、記述します。記述問題では「合同条件を書かないと減点される」ので、注意してくださいね。

以上の(１)(２)(４)より、

三角形の、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$\triangle$ＡＢＰ $\equiv$ $\triangle$ＡＲＰ

証明終


②　「面積比」の問題です。「円の融合問題」の場合は、相似を用いることが多いです。

まずは図形を確認しましょう。

$\triangle$ＡＣＱと四角形ＡＯＰＲの面積ですが、単純には、比が求められなそうです。

そこで、 $\triangle$ＡＣＱ と $\triangle$ＯＢＰ の面積比を、まずは求めていきます。


$\overparen{ BC }$ $=$ $2\overparen{ BP }$ なので

弧ＢＣの長さ：弧ＢＰの長さ＝２：１

円周角ＣＡＢ：円周角ＢＡＰ＝２：１

円周角ＣＡＢ：円周角ＢＡＰ＝$45^\circ$：$22.5^\circ$


中心角ＢＯＰ＝円周角ＢＡＰ$\times$２＝$45^\circ$　・・・（１）

$\triangle$ＯＢＰは、辺ＯＢ＝辺ＯＰ＝半径なので

$\triangle$ＯＢＰは二等辺三角形になります。

$\angle$ＯＢＰ＝$(180-45)\div2$＝$67.5^\circ$

円周角の定理より

円周角ＡＣＰ＝円周角ＡＢＰ＝$67.5^\circ$　・・・（２）

以上の（１）（２）から、三角形の二角がそれぞれ等しいので

$\triangle$ＡＣＱ $\sim$ $\triangle$ＯＢＰ


これで相似が証明できましたので、続いて、辺の比を求めていきます。

円周角ＰＡＢ＝円周角ＰＣＢ＝$22.5^\circ$


線分ＯＣを引き、$\triangle$ＯＢＣに注目すると

$\triangle$ＯＢＣは直角二等辺三角形なので

$\angle$ＯＢＣ＝$45^\circ$


線分ＯＣは半径なので

線分ＯＣの長さ＝$r$　とおくと

$\triangle$ＯＢＣの辺の比は

辺ＯＢ：辺ＯＣ：辺ＢＣ　＝　$r:r:\sqrt{2}r$

＝　$1:1:\sqrt{2}$


$\angle$ＯＣＱ＝$\angle$ＢＣＱ＝$22.5^\circ$ なので

直線ＣＱは、角の二等分線だとわかります。

よって

線分ＯＣ：線分ＢＣ ＝ 線分ＯＱ：線分ＢＱ

＝$1:\sqrt{2}$


線分ＡＯ＝線分ＢＯ＝線分ＯＱ＋線分ＢＱ　なので

辺ＡＯ：辺ＯＱ：辺ＢＱ　＝　$1+\sqrt{2}:1:\sqrt{2}$


辺ＡＱ：辺ＯＢ＝$1+\sqrt{2}+1:1+\sqrt{2}$

＝$2+\sqrt{2}:1+\sqrt{2}$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１８年問題４

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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