東京都立高校2018年共通試験 問題３ 二次関数

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問題３－１　二次関数　最大最小：
図１で、点Ｏは原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフを表している。

点Ａ、点Ｂはともに曲線 $\ell$ 上にあり、 $x$ 座標はそれぞれ $-4,-6$である。

曲線 $\ell$ 上にある点をＰとする。

次の各問に答えよ。

点Ｐの $x$ 座標を $a$ 、 $y$ 座標を $b$ とする。

$a$ のとる値の範囲が $-4\leqq a\leqq 6$ のとき、 $b$ のとる値の範囲を、次のア～エのうち
から選び、記号で答えよ。

ア　$-8\leqq b\leqq 18$

イ　$0\leqq b\leqq 8$

ウ　$0\leqq b\leqq 18$

エ　$8\leqq b\leqq 8$

問題３－２　二次関数　点の軌跡：
図２は、図１において、点Ｐの $x$ 座標が $-4$ より大きく $6$ より小さい数のとき、点Ａと点Ｂを結び、線分ＡＢ上にあり $x$ 座標が点Ｐの $x$ 座標と等しい点をＱとし、点Ｐと点Ｑを結び、線分ＰＱの中点をＭとした場合を表している。


次の①、②に答えよ。

①　点Ｐが $y$ 軸上にあるとき、２点Ｂ、Ｍを通る直線の式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。

ア　$y=2x+6$

イ　$y=\frac{1}{2}x+6$

ウ　$y=3x$

エ　$y=2x$


②　直線ＢＭが原点を通るとき、点Ｐの座標を求めよ。

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問題３－１　二次関数　最大最小：
ウ　$0\leqq b\leqq 18$


問題３－２　二次関数　点の軌跡：
①　ア　$y=2x+6$

②　$P(4,8)$

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問題３－１　二次関数　最大最小：
二次関数は基本問題も出題されますが、高校受験では「二次関数＋他分野との融合問題」が主役になります。教科書の学習を終えたら、より上位の解法を習得していきましょう。

「二次関数の最大最小」のポイントは「実際にグラフで、目視確認」です。

まずは点Pの移動を、描いてみましょう。

点Pの $x$ 座標は ー４⇒０⇒６と変化します。

点Pの $y$ 座標は ８⇒０⇒１８と変化します。

したがって、点Ｐの $y$ 座標 $b$ のとる値の範囲は、

$0\leqq b\leqq 18$ となります。


ちなみに、この問題作成者が受験生用の「ひっかけ」として用意したのは

$8\leqq b\leqq 18$ という誤答です。

この誤答は、計算だけをして、グラフを目視確認していない受験生が、ひっかかるものです。注意しましょう。

問題３－２　二次関数　点の軌跡：
「点の軌跡」の問題は、自分の手でグラフを描く技術が必要です。

問題文の①の場合を、順番に描いていきましょう。


点Pを $y$ 軸上に書きます。点Qも $y$ 軸上に書けますね。

点Qの座標を求めたいので、直線ABに注目します。

直線ABの傾きは１なので

直線ABの式は $y=x+12$ となります。

点Qの座標は $(0,12)$ となります。


点Mは、点Pと点Qの中点です。


直線BMは、点B $(6,18)$ と点M $(0,6)$ を通ります。


直線BMを $y=ax+b$ と置きます。

$b$ の値はy軸切片なので $b=6$ です。

直線BMは $y=ax+6$ となります。

直線BMは、点B $(6,18)$ を通るので、 $x$ 座標と $y$ 座標を代入して、

$18=6a+6$

$12=6a$

$2=a$

したがって

直線BMは $y=2x+6$ となります。


続いて、問題文の②の場合を、順番に描いていきましょう。

直線BMが原点を通るので、点Bから原点へ、直線を引きます。


点Pをどこかに置きたいのですが、どこかわかりません。そこで $x$ 座標を $t$ としておきます。

「点の軌跡」の問題では、「わからない座標は文字で置いておく」という解法があります。

点Pの $x$ 座標を $t$ と置くと、 $y$ 座標は $\frac{1}{2}{t}^2$ と置けます。


点Pから真上に直線を引き、直線ABとの交点が、点Qになります。

点Qの $x$ 座標は、点Pと同じなので $t$ です。

点Qは直線AB ( $y=x+12$ ) の上にあるので

点Qの $y$ 座標は $t+12$ と置けます。


点Mの $x$ 座標は、点Pと同じなので $t$ です。

点Mは直線OB ( $y=3x$ ) の上にあるので

点Mの $y$ 座標は $3t$ と置けます。


ここで点Mが、点Pと点Qの中点であることに注目します。

点Mの $y$ 座標 ＝ (点Pの $y$ 座標＋点Qの $y$ 座標) $÷$ ２

$3t=\{(\frac{1}{2}{t}^2)+(t+12)\}÷2$

$6t=(\frac{1}{2}{t}^2)+(t+12)$　　(両辺に２を掛ける)　

$12t=t^2+2t+24$　　(両辺に２を掛ける)　

$t^2-10t+24=0$　　(項を整理する)　

$(t-4)(t-6)=0$　　(因数分解)　

$t=4,6$　　

$t$ の定義域は $-4<t<6$ なので

$t=6$ は不適です。

よって $t=4$ が適しています。


$t=4$ の時、

点Pの $x$ 座標＝ $4$

点Pの $y$ 座標＝ $\frac{1}{2}\times 4^2$ ＝$8$

以上より $P(4,8)$

【科目】

公立中学数学カリキュラム＋高校受験数学

【領域】

数学　＞　過去問　＞　東京都立高校　＞　２０１８年問題３

【対象生徒】

〇 算数を終えた小学生
〇 数学検定３級以上
〇 中学生(１年・２年・３年)
〇 高校受験生
〇 数学を基礎から学び直したい生徒


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