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定積分の微分

2018-11-07

2018-11-07

定積分の微分

【問題】
$\int_{\frac{π}{2}}^{x} (x - t) f (t) d t = \sin x - a$
について　 $f (x)$ を求めよ。

【解説】

\int_{\frac{π}{2}}^{x} (x - t) f (t) d t = \sin x - a

\int_{\frac{π}{2}}^{x} x f (t) d t - \int_{\frac{π}{2}}^{x} t f (t) d t = \sin x - a (左辺の展開)

{(x \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{x} f (t) d t)}^{'} - {(\int_{\frac{π}{2}}^{x} t f (t) d t)}^{'} = {(\sin x - a)}^{'} (両辺を微分)

x^{'} (\int_{\frac{π}{2}}^{x} f (t) d t) + x {(\int_{\frac{π}{2}}^{x} f (t) d t)}^{'} - x f (x) = \cos x (積の微分に注意)

1 \cdot (\int_{\frac{π}{2}}^{x} f (t) d t) + x f (x) - x f (x) = \cos x

\int_{\frac{π}{2}}^{x} f (t) d t = \cos x

f (x) = - \sin x (両辺を微分)

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