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定積分の微分

定積分の微分

【問題】
$$
\int_\frac{\pi}{2}^x (x-t) f(t) dt =\sin x - a
$$
について $ f(x) $ を求めよ。



【解説】

$$ \int_\frac{\pi}{2}^x (x-t) f(t) dt =\sin x - a $$

$$ \int_\frac{\pi}{2}^x x f(t) dt - \int_\frac{\pi}{2}^x t f(t) dt =\sin x - a \text{(左辺の展開)} $$

$$ \left( x \cdot \int_\frac{\pi}{2}^x f(t) dt \right)^{\prime} - \left(\int_\frac{\pi}{2}^x t f(t) dt \right)^{\prime} =\left( \sin x - a\right)^{\prime}  \text{(両辺を微分)} $$

$$ x^{\prime} \left( \int_\frac{\pi}{2}^x f(t) dt \right) + x \left( \int_\frac{\pi}{2}^x f(t) dt \right) ^{\prime} - x f(x) =\cos x  \text{(積の微分に注意)} $$

$$ 1 \cdot \left( \int_\frac{\pi}{2}^x f(t) dt \right) + x f(x) - x f(x) =\cos x $$
$$ \int_\frac{\pi}{2}^x f(t) dt =\cos x $$

$$ f(x) =-\sin x   \text{(両辺を微分)} $$

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