円の性質 円周角

プロ家庭教師の中学数学問題集で、円の性質と円周角が演習できます。高校受験生・私立中高一貫校生・私立附属中学校生でのハイレベル数学の解答・解説・分析です。順番に問題を解き進めることで、学校の教科書を超えて、より優れた数学力が育成されます。

【科目】：中学数学
【領域】：平面図形
【単元】：円の性質と円周角
【対象生徒】：高校受験生・私立中高一貫校生・私立附属中学校生
【対応試験】：
難関私立高校受験(開成・渋谷幕張・豊島岡・慶応女子・早稲田実業など)
私立大学附属内部進学(慶應附属・早稲田附属・MARCH附属など)
私立中高一貫校(御三家など)
都立自校作成(日比谷・西・国立・青山・戸山・八王子東)

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【問題　円と三角形の証明】
以下の図で、4点A,B,C,Dは円周上にありBA＝BDである。
点Aを通り線分DCに平行な直線と、円との交点をEとする。
線分AEと線分BD,BCとの交点をそれぞれF,Gとする。

（１）三角形ABG $\equiv$ 三角形DBEであることを証明せよ。

（２）AB＝１０ｃｍ,　BE=3cm,　CG=5cm のとき、線分BFの長さを求めよ。


【解答　円と三角形の証明】
（１）

三角形ABGと三角形DBEにおいて
BA＝BD　(仮定)・・・①
角BAG＝角BDE　(円周角)・・・②

また
角BED＝角BCD　(円周角)
角BCD＝角BGA　(同位角)なので
角BED＝角BGA・・・③

さらに
角GBA＝１８０°ー角BAGー角BGA
＝１８０°ー角BDEー角BED
＝角EBD・・・④

①②③④より
三角形の一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
三角形ABG $\equiv$ 三角形DBE

（２）

AE $\parallel$ CDより、三角形BGFと三角形BCDは相似である。

また
辺AB＝１０ｃｍ＝辺BD
辺BE＝３ｃｍ＝辺BG
辺CG＝５ｃｍ なので
相似比は辺BG：辺BC＝３：３＋５
＝３：８

相似の三角形の辺の比はそれぞれ等しいので
辺BF：辺BD＝３：８

よって
辺BF＝$10cm\times \Large\frac{3}{8}=\frac{30}{8}$

=$\Large\frac{15}{4}$cm=$3.75$cm