東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０１８年問題２ ＞ 問題・解答・解説・傾向
問題２－１ 立体図形 六角柱：
ある中学校でＳさんが作った問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
・・・Ｓさんが作った問題・・・
問題２－１ 立体図形 六角柱
$a , b , h$ を正の数とする。
図に示した立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬは底面が１辺 $a$ $cm$の正六角形、高さが $h$ $cm$、６つの側面が全て合同な長方形の正六角柱である。
正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、対角線ＡＤと対角線ＣＦの交点をＭ、点Ｍから辺ＡＢに垂線を引き、 辺ＡＢとの交点をＮとし、線分ＭＮの長さを $b$ $cm$とする。
立体ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬの表面積を $Ｐ$ $cm^2$とするとき、$Ｐ$を$a , b , h$を用いて表してみよう。
Ｔさんは「Ｓさんが作った問題」の答えを次の形の式で表した。
Ｔさんの答えは正しかった。
Ｔさんの答え $P=6a([ ])$
Ｔさんの答えの[ ]に当てはまる式を次のア～エのうちから選び記号で答えよ。
ア $\frac{\large 1}{\large 2}b + h$
イ $b ＋ h $
ウ $b ＋ 2h$
エ $2b ＋ h$
問題２－２ 立体図形 円柱：
先生は「Ｓさんが作った問題」をもとにして 次の問題を作った。
・・・先生が作った問題・・・
問題２－２ 立体図形 円柱
$h , l , r$ を正の数とする。
図に示した立体は、底面が半径 $r$ $cm$の円、高さが $h$ $cm$の円柱であり、２つの底面の中心$Ｏ,Ｏ'$を結んでできる線分は、２つの底面に垂直である。
この立体について、底面の円周を $l$ $cm$、表面積を $Q$ $cm^2$とするとき、$Q=l(h+r)$となることを確かめなさい。
「先生が作った問題」で、$l$を$r$を用いて表し、$Q=l(h+r)$となることを証明しなさい。ただし、円周率は$\pi$とする。