東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０２１年問題２ ＞ 問題・解答・解説・傾向
Ｓさんのクラスでは, 先生が示した問題をみんなで考えた。次の各問に答えよ。
［先生が示した問題］
$a$ を正の数, $n$ を自然数とする。
都立高校2021年問題2-1 平面図形
図１のように, １辺の長さが $2a$ cm の正方形に, 各辺の中点を結んでできた四角形を描いたタイルがある。
正方形と描いた四角形で囲まれてできる で示された部分の面積について考える。
図１のタイルが縦と横に $n$ 枚ずつ正方形になるように, このタイルを並べて敷き詰つめる。
図２は $n=2$ の場合を表している。図１のタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で で示される部分の面積を Ｐ$cm^2$ とする。
また, 図１のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で, 各辺の中点を結んでできる四角形を描いた別のタイルを考える。図３は, $n=2$ の場合を表している。図１と同様に, 正方形と描いた四角形で囲まれてできる部分を で示し, その面積を Ｑ$cm^2$ とする。
$n=5$ のとき, ＰとＱをそれぞれ $a$ を用いて表しなさい。
問題２－１ 平面図形 文字と式：
次の ① と ② に当てはまる式を, 下のア〜エのうちからそれぞれ選び, 記号で答えよ。
先生が示した問題で, $n=5$ のとき, ＰとＱをそれぞれ $a$ を用いて表すと, Ｐ＝①, Ｑ＝② となる。
①
ア $\dfrac{25}{2}a^2$ イ $50a^2$
ウ $75a^2$ エ $100a^2$
②
ア $\dfrac{25}{2}a^2$ イ $25a^2$
ウ $50a^2$ エ $75a^2$
Ｓさんのグループは, ［先生が示した問題］をもとにして, 正方形のタイルの内部に描いた四角形を円に変え, 正方形と描いた円で囲まれてできる部分の面積を求める問題を考えた。
［Ｓさんのグループが作った問題］
$a$ を正の数, $n$ を自然数とする。
都立高校2021年問題2-2 平面図形
図４のように, １辺の長さが $2a$ cm の正方形に, 各辺に接する円を描いたタイルがある。
正方形と描いた円で囲まれてできる, で示された部分の面積について考える。
図４のタイルが縦と横に $n$ 枚ずつ正方形になるように, このタイルを並べて敷き詰める。図５は, $n=2$ の場合を表している。
図４のタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で, で示される部分の面積を Ｘ$cm^2$ とする。
また, 図４のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横に $n$ 枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で, 各辺に接する円を描いた別のタイルを考える。
図６は, $n=2$ の場合を表している。図４と同様に, 正方形と描いた円で囲まれてできる部分を で示し, その面積を Ｙ$cm^2$ とする。
図４のタイルが縦と横に $n$ 枚ずつ並ぶ正方形になるように, このタイルを敷き詰めて, 正方形と円で囲まれている部分の面積Ｘ, Ｙをそれぞれ考えるとき, Ｘ＝Ｙ となることを確かめてみよう。
問題２－２ 平面図形 文字と式：
［Ｓさんのグループが作った問題］で, Ｘ, Ｙをそれぞれ $a$, $n$ を用いた式で表し Ｘ＝Ｙ となることを証明せよ。ただし, 円周率は $\pi$ とする。