東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０２０年問題２ ＞ 問題・解答・解説・傾向
問題２－１ 立体図形 円柱：
Ｓさんのクラスでは、先生が示した問題を、みんなで考えた。
次の各問に答えよ。
・・・先生が示した問題・・・
問題２－１ 立体図形 円柱
$a , b , h$ を正の数とし、 $a > b$ とする。
図１は、点Ｏ、点Ｐをそれぞれ底面となる円の中心とし、２つの円の半径がともに $a cm$ であり、四角形ＡＢＣＤはＡＢ＝ $h cm$ の長方形で、四角形ＡＢＣＤが側面となる円柱の展開図である。
図２は、点Ｑ、点Ｒをそれぞれ底面となる円の中心とし、２つの円の半径がともに $b cm$ であり、四角形ＥＦＧＨはＥＦ＝ $h cm$ の長方形で、四角形ＥＦＧＨが側面となる円柱の展開図である。
図１を組み立ててできる円柱の体積を $X cm^3$ 、
図２を組み立ててできる円柱の体積を $Y cm^3$ とするとき、
$X-Y$ の値を $a , b , h$ を用いて表しなさい。
・・・先生が示した問題・・・で、
$X-Y$ の値を $a , b , h$ を用いて
$X-Y$＝[ ]と表すとき、[ ]に当てはまる式を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。
ただし、円周率は $\pi$ とする。
ア $\pi( a^2 - b^2)h$
イ $\pi( a - b )^2 h$
ウ $2 \pi ( a - b )h $
エ $\pi( a - b )h $
問題２－２ 立体図形 円柱：
Sさんのグループは・・・先生が示した問題・・・で示された２つの展開図をもとにしてできる長方形が側面となる円柱を考え、その円柱の体積と、 $X$ と $Y$ との和の関係について次の問題を作った。
・・・Sさんのグループが作った問題・・・
問題２－２ 立体図形 円柱
$a , b , h$ を正の数とし、 $a > b$ とする。
図３で、四角形ＡＢＧＨは、図１の四角形ＡＢＣＤの辺ＤＣと図２の四角形ＥＦＧＨの辺ＥＦを一致させ、辺ＡＨの長さが、辺ＡＤの長さと辺ＥＨの長さの和となる長方形である。
図４のように、図３の四角形ＡＢＧＨが円柱の側面となるように、辺ＡＢと辺ＨＧを一致させ、組み立ててできる円柱を考える。
・・・先生が示した問題・・・の２つの円柱の体積 $X$ と $Y$ の和を $W cm^3$ 、図４の円柱の体積を $Z cm^3$ とするとき、
$Z-W=2 \pi abh$ となることを確かめてみよう。
・・・Sさんのグループが作った問題・・・で
$Z-W=2 \pi abh$ となることを証明せよ。
ただし、円周率は $\pi$ とする。