東京都立高校 数学 共通試験 ＞ 過去問２０１９年問題２ ＞ 問題・解答・解説・傾向
問題２－１ 平面図形 正方形と円：
Ｓさんのクラスでは、先生が示した問題を、みんなで考えた。
次の各問に答えよ。
・・・先生が示した問題・・・
$a$ を正の数 、 $n$ を２以上の自然数とする。
図１で、四角形ＡＢＣＤは、１辺 $a$ cm の正方形であり、点Ｐは、四角形ＡＢＣＤの２つの対角線の交点である。
問題２－１ 図１ 平面図形 正方形と円
１辺 $a$ cmの正方形を、次の[きまり]に従って、順にいくつか重ねてできる図形の周の長さについて考える。
[きまり]
次の①から③を全て満たすように正方形を重ねる。
① 重ねる正方形の頂点の１つを、重ねられる正方形の対角線の交点に一致させる。
② 重ねる正方形の対角線の交点を、重ねられる正方形の頂点の１つに一致させる。
③ 対角線の交点は、互いに一致せず、全て１つの直線上に並ぶようにする。
正方形を順に重ねてできる図形の周の長さは、図に示す太線の部分とし、点線の部分は含まないものとする。
例えば、図２は、２個の 正方形を重ねてできた図形であり、周の長さは $6a$ cmとなる。
図３は、３個の正方形を重ねてできた図形であり、周の長さは $8a$ cmとなる。
図４は、正方形を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形を表している。
問題２－１ 図２から４ 平面図形 正方形と円
１辺 $a$ cmの正方形を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形の周の長さを $L$ cm とするとき、 $L$ を $a$ 、 $n$ を用いて表しなさい。
Ｓさんは・・・先生が示した問題・・・の答えを、次の形の式で表した。
Ｓさんの答えは正しかった。
〈Sさんの答え〉 $L$＝[ ]
〈Sさんの答え〉の[ ] に当てはまる式を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。
ア $4an$
イ $a(n+4)$
ウ $2a(n+2)$
エ $2a(n+1)$
問題２－２ 平面図形 正方形と円：
Ｓさんのグループは・・・先生が示した問題・・・をもとにして、正方形を円に変え、合同な円をいくつか重ねてできる図形の周の長さを求める問題を考えた。
・・・Sさんのグループが作った問題・・・
$\ell$ 、 $r$ を正の数、 $n$ を２以上の自然数とする。
図５で、点Ｏは、半径 $r$ cmの円の中心である。
問題２－２ 図５から図６ 平面図形 正方形と円
半径 $r$ cmの円を、次の[きまり]に従って、 順にいくつか重ねてできる図形の周りの長さについて考える。
[きまり]
次の①、②をともに満たすように円を重ねる。
① 重ねる円の周上にある１点を、重ねられる円の中心に一致させる。
② 円の中心は、互いに一致せず、全て１つの直線上に並ぶようにする。
図６は、円を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形を表している。
この図形の周の長さは、太線の部分とし、点線の部分は含まないものとする。
半径 $r$ cmの円を $n$ 個目まで順に重ねてできた図形の周の長さを $M$ cm、
半径 $r$ cmの円の周の長さを $\ell$ cmとするとき、
$M$=$\displaystyle \frac{1}{3} \ell (n + 2)$ となることを示してみよう。
・・・Sさんのグループが作った問題・・・で、
$M$=$\displaystyle \frac{1}{3} \ell (n + 2)$となることを示せ。